Théorie générale du choix et des préférences/Ipotesi imposte sulle preferenze

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    <title>Théorie générale du choix et des préférences/Ipotesi imposte sulle preferenze</title>
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{{Chapitre
  | idfaculté   = économie
  | numéro      = 2
  | précédent   = [[../Modellizzazione delle preferenze/]]
  | suivant     = [[../Teorema di rappresentazione di Debreu/]]
  | niveau      = 15
}}

=== Complétude ===
&lt;math&gt;\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in X : \mathbf{x}\succcurlyeq\mathbf{y} \lor \mathbf{y}\succcurlyeq\mathbf{x}&lt;/math&gt;

Autrement dit, étant donné deux paniers de consommation quelconques, au moins l'un est faiblement préféré à l'autre. Cela signifie que deux paniers quelconques sont toujours comparables : en substance, le consommateur doit toujours pouvoir décider, en exprimant éventuellement de l'indifférence (double préférence faible), mais sans jamais refuser de répondre.
=== Réflexivité ===
&lt;math&gt;\forall \mathbf{x}\in X : \mathbf{x}\succcurlyeq\mathbf{x}&lt;/math&gt;

Autrement dit, tout panier de consommation est faiblement préféré à lui-même. Cette propriété peut paraître redondante, compte tenu de l'hypothèse d'exhaustivité des préférences, mais il est utile de la préciser explicitement.
=== Transitivité ===
&lt;math&gt;\forall \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in X : \mathbf{x}\succcurlyeq\mathbf{y} \land \mathbf{y}\succcurlyeq\mathbf{z} \Rightarrow \mathbf{x}\succcurlyeq\mathbf{z}&lt;/math&gt;

Autrement dit : étant donné trois paniers de consommation quelconques, si le premier est faiblement préféré au deuxième, et le deuxième au troisième, alors le premier panier est également faiblement préféré au troisième.
* Data tale proprietà, è possibile dimostrare che anche &lt;math&gt;\succ&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; sono transitive (la dimostrazione è lasciata come esercizio). Sulla transitività di tali relazioni è possibile menzionare diversi paradossi, in particolare il [[w:Paradosso di Condorcet|paradosso di Condorcet]], che però riguarda le preferenze collettive; per quanto riguarda, invece, la transitività dell'indifferenza, si presuppone che il consumatore sia in grado di distinguere beni aventi differenze infinitesime.
* Si noti, a questo punto, che la preferenza debole, date le proprietà di riflessività e transitività, è un [[w:Preordine|preordine]]; inoltre la relazione di indifferenza è riflessiva, simmetrica e transitiva, dunque è una [[w:Relazione di equivalenza|relazione di equivalenza]]. Tale relazione determina, quindi, una [[w:Partizione (teoria degli insiemi)|partizione]] dell'insieme di consumo con suddivisione in [[w:Classe di equivalenza|classi di equivalenza]]. L'[[w:Insieme quoziente|insieme quoziente]] &lt;math&gt;X / \sim&lt;/math&gt; risulta, dunque, [[w:Ordine totale|totalmente ordinato]] mediante la &lt;math&gt;\succ&lt;/math&gt;.
=== Continuité ===
&lt;math&gt;\forall \mathbf{y} \in X&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\left \{ \mathbf{x} \in X | \mathbf{x} \succcurlyeq \mathbf{y} \right \}&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\left \{ \mathbf{x} \in X | \mathbf{y} \succcurlyeq \mathbf{x} \right \}&lt;/math&gt; sono [[w:Insieme chiuso|insiemi chiusi]]

Questo significa che, data una successione di panieri &lt;math&gt;\mathbf{x}_n&lt;/math&gt; che convergono ad un paniere &lt;math&gt;\mathbf{x}&lt;/math&gt;, se &lt;math&gt;\mathbf{y}&lt;/math&gt; è preferito a tutti i panieri della successione, è anche preferito a &lt;math&gt;\mathbf{x}&lt;/math&gt;, e viceversa.

Questa proprietà permette di escludere alcuni tipi di preferenza, come l’[[w:Ordine lessicografico|ordine lessicografico]]; in quest'ultimo caso, infatti, esisterebbe un bene che non è sostituibile con gli altri e non verrebbe mai scambiato.

=== Monotonie forte  ===
&lt;math&gt;\forall \mathbf{x}\ne \mathbf{y}, x_l \ge y_l \forall l \Rightarrow \mathbf{x}\succ \mathbf{y}&lt;/math&gt;

Autrement dit, étant donné deux paniers distincts, si l'un d'eux contient au moins la même quantité de chaque bien que l'autre, alors il est strictement préférable. En d'autres termes, si deux paniers sont identiques, mais que l'un d'eux contient au moins un bien en quantité strictement supérieure, alors il est nécessairement strictement préférable.
* Dans la définition de la monotonie faible, la préférence stricte est remplacée par la préférence faible.
* L'hypothèse d'une forte monotonie contraste avec les préférences à[[w:Wassily Leontief|Leontief]].


{{Bas de page
  | idfaculté   = économie
  | précédent   = [[../Modellizzazione delle preferenze/]]
  | suivant     = [[../Teorema di rappresentazione di Debreu/]]
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    <title>Théorie générale du choix et des préférences/Proprietà delle funzioni di utilità</title>
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  | suivant     = 
  | niveau      = 15
}}
* Ogni funzione di utilità è unica a meno di una [[w:Funzione monotona|trasformazione monotonica crescente]], ovvero applicando una arbitraria funzione monotona crescente alla funzione di utilità, otteniamo tutte le possibili funzioni di utilità rappresentative delle preferenze date. Si dice, quindi, che l'utilità ha natura '''ordinale''': il valore assunto dalla funzione di utilità per un determinato paniere non ha significato in se, quello che conta è l'ordine. Se, ad esempio, un paniere ha utilità 100 ed un altro 10, possiamo solo concludere che il primo è preferito al secondo, non che il primo è 10 volte più utile del secondo.
* Si definisce '''curva d'indifferenza''', o di isoutilità, l'insieme di tutti i panieri aventi la stessa utilità. È, dunque, chiaro il parallelo con le classi di equivalenza di cui si è parlato in precedenza. Volendo ottenere l'equazione della generica curva d'indifferenza, nel caso di due soli beni, in modo da poterne tracciare il grafico, bisogna seguire lo stesso procedimento utilizzato per disegnare le [[w:Insieme di livello|curve di livello]] di una funzione, ossia:
** Data la funzione di utilità &lt;math&gt;u \left ( x_1,x_2 \right )&lt;/math&gt;, si considerino le combinazioni dei due beni aventi la stessa utilità: &lt;math&gt;u \left ( x_1,x_2 \right ) = k&lt;/math&gt;
** Si imponga che il differenziale totale sia nullo (l'utilità, date le variazioni di &lt;math&gt;x_1,x_2&lt;/math&gt;, rimane costante): &lt;math&gt;du=\frac{\partial u \left ( x_1,x_2 \right )}{\partial x_1} dx_1+ \frac{\partial u \left ( x_1,x_2 \right )}{\partial x_2} dx_2 =0&lt;/math&gt;
** Quindi si ottiene l'inclinazione della curva d'indifferenza: &lt;math&gt;\frac{dx_2}{dx_1} \bigg|_{du=0} =- \frac{\frac{\partial u \left ( x_1,x_2 \right )}{\partial x_1}}{\frac{\partial u \left ( x_1,x_2 \right )}{\partial x_2}}&lt;/math&gt;; il valore assoluto di tale inclinazione viene detta '''[[w:Saggio marginale di sostituzione|saggio marginale di sostituzione]]''' tra &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt;, che indica di quanto deve aumentare la quantità di &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; al diminuire della quantità di &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; presente nel paniere, affinché il consumatore rimanga indifférente. In generale è &lt;math&gt; |SMS_{i,j}| =\frac{\frac{\partial u \left ( \mathbf{x} \right )}{\partial x_i}}{\frac{\partial u \left ( \mathbf{x} \right )}{\partial x_j}}&lt;/math&gt;
Les courbes d'indifférence ont toujours une pente négative : la stricte monotonie exclut la possibilité de segments à pente non négative.
Comme nous l'avons vu précédemment (les courbes d'indifférence sont des classes d'équivalence), à ​​chaque panier correspond une courbe d'indifférence unique (c'est-à-dire que deux courbes d'indifférence ne se croisent jamais).
* Si assume che le preferenze siano '''[[w:Insieme convesso|convesse]]''', ossia: &lt;math&gt;\forall \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in X, \mathbf{x} \succcurlyeq \mathbf{z} \land \mathbf{y} \succcurlyeq \mathbf{z} \Rightarrow \lambda \mathbf{x}+ \left ( 1- \lambda \right ) \mathbf{y} \succcurlyeq \mathbf{z}, \forall \lambda \in \left [ 0,1 \right ]&lt;/math&gt;. Ciò significa che se due panieri sono debolmente preferiti ad un paniere dato, anche una loro combinazione è debolmente preferita al paniere dato. L'implicazione economica è che un paniere &quot;medio&quot; è debolmente preferito ai panieri estremi.
** La convessità delle preferenze implica che le curve di indifferenza sono [[w:Funzione convessa|convesse]], che il saggio marginale di sostituzione è decrescente e che la funzione di utilità è [[w:Funzione quasi-concava|quasi-concava]], ossia: &lt;math&gt;u \left [ \lambda \mathbf{x}+ \left ( 1- \lambda \right ) \mathbf{y} \right ] \ge \max \left [ u \left ( \mathbf{x} \right ), u \left ( \mathbf{y} \right ) \right ], \forall \lambda \in \left [ 0,1 \right ]&lt;/math&gt;
* Bien que des fonctions d'utilité infinies puissent être obtenues par une transformation monotone croissante, le taux marginal de substitution reste invariant sous les transformations susmentionnées.


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    <title>Recherche:Cardinal quantitatif</title>
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        <username>Guillaume FOUCART</username>
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      <text bytes="480501" sha1="ewjqtwqmoba6wtski0bhrkgq653540c" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']]

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'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.'''

'''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :'''

'''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' 


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos''' ===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''

'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===

====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

====Remarques sur la définition====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;''. 

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 
 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;

====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''Préliminaires :'''

==== Notations ====
{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.
 
avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;}}

====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


'''''Remarque : '''''


La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

====Théorème admis de HADWIGER====

{{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}

====Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et où &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;,


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;

====Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.}}


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


{{ancre|Corollaire}}

====Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;

===='''Remarque importante'''==== 


{{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====Remarque préliminaire 1====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}

====Remarque importante 4====
{{Théorème|titre=|contenu=Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}

====Proposition 5==== 
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}

====Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}

&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''

===='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''====


{{Théorème|titre=|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}

====Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

(Si de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, comme un ensemble tel que &lt;math&gt;\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt;a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

=====Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)=====

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;'', car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


et où

&lt;math&gt;\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;.


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


b) Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;f(0) = 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


Alors :


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;'''),


'''[Fin point sensible]''' 


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;


•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''

Alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)======
 
{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 

On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

=====2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}

=====Exemples 2=====
{{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;.&quot;''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}

=====Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Partie 1====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt; ]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;,]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe), de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe, (connexe) de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

====Partie 2====

{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) &lt; \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;C^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;====

===== Conjecture =====

{{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


======Remarque importante préliminaire :======


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

======Définitions :======


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


======A)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;

où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt; 


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);
*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);
*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}

======B)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}

======C)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


======D) Partie 1)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,

mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 2)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


On pose :
 
&lt;math&gt;\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;. 


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''======


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.


J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}

======D) Partie 4)======


{{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :'''
 

Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

=====Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :''

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]'' 


''Remarque :'' 

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}

=====Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====

=====Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

=====Remarques sur la définition=====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot; :'''''

Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

===== Notations =====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

===== Remarque =====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

=====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; =====

{{Théorème|titre=|contenu= Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;'',


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,
 

et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarque :'''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''

 
Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''Conjecture qui servira :''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== 

{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de ''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;''.

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


'''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.'''

(respectivement '''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;''').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=''


De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''Définition :''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====


''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] :''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère :


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien &lt;math&gt;\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


''Compléments :''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot; à prendre en compte)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024].

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, des ensembles, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.
 

Alors : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}

====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;''''']'''''.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt;card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :

&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
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        <username>Guillaume FOUCART</username>
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  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']]

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


'''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert.


'''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et belle police LaTeX concernant les lettres majuscules &quot;rondes&quot; et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :'''


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'''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' 

'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

'''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) &quot;Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)&quot;], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif'''

'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' 

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''
* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''


'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.'''

'''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :'''

'''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' 


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos''' ===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''

'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===

====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

====Remarques sur la définition====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;''. 

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 
 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;

====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''Préliminaires :'''

==== Notations ====
{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.
 
avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;}}

====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


'''''Remarque : '''''


La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

====Théorème admis de HADWIGER====

{{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}

====Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et où &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;,


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;

====Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.}}


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


{{ancre|Corollaire}}

====Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;

===='''Remarque importante'''==== 


{{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====Remarque préliminaire 1====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}

====Remarque importante 4====
{{Théorème|titre=|contenu=Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}

====Proposition 5==== 
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}

====Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}

&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''

===='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''====


{{Théorème|titre=|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}

====Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

(Si de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, comme un ensemble tel que &lt;math&gt;\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt;a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

=====Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)=====

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;'', car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


et où

&lt;math&gt;\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;.


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


b) Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;f(0) = 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


Alors :


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;'''),


'''[Fin point sensible]''' 


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;


•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''

Alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)======
 
{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 

On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

=====2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}

=====Exemples 2=====
{{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;.&quot;''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}

=====Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Partie 1====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt; ]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;,]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe), de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe, (connexe) de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

====Partie 2====

{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) &lt; \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;C^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;====

===== Conjecture =====

{{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


======Remarque importante préliminaire :======


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

======Définitions :======


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


======A)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;

où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt; 


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);
*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);
*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}

======B)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}

======C)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


======D) Partie 1)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,

mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 2)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


On pose :
 
&lt;math&gt;\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;. 


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''======


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.


J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}

======D) Partie 4)======


{{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :'''
 

Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

=====Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :''

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]'' 


''Remarque :'' 

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}

=====Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====

=====Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

=====Remarques sur la définition=====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot; :'''''

Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

===== Notations =====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

===== Remarque =====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

=====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; =====

{{Théorème|titre=|contenu= Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;'',


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,
 

et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarque :'''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''

 
Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''Conjecture qui servira :''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== 

{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de ''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;''.

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


'''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.'''

(respectivement '''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;''').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=''


De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''Définition :''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====


''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] :''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère :


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien &lt;math&gt;\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


''Compléments :''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot; à prendre en compte)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024].

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, des ensembles, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.
 

Alors : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}

====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;''''']'''''.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt;card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :

&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>q8ub3kx2alcin2ty37zfk67tguqc145</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>985706</id>
      <parentid>985702</parentid>
      <timestamp>2026-08-12T14:46:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <origin>985706</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="480521" sha1="62zzz62v2esl9x6wipqvqgdqk2hxgyn" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

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'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''
* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''


'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.'''

'''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :'''

'''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' 


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos''' ===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''

'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===

====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

====Remarques sur la définition====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;''. 

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 
 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;

====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''Préliminaires :'''

==== Notations ====
{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.
 
avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;}}

====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


'''''Remarque : '''''


La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

====Théorème admis de HADWIGER====

{{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}

====Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et où &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;,


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;

====Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.}}


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


{{ancre|Corollaire}}

====Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;

===='''Remarque importante'''==== 


{{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====Remarque préliminaire 1====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}

====Remarque importante 4====
{{Théorème|titre=|contenu=Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}

====Proposition 5==== 
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}

====Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}

&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''

===='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''====


{{Théorème|titre=|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}

====Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

(Si de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, comme un ensemble tel que &lt;math&gt;\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt;a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

=====Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)=====

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;'', car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


et où

&lt;math&gt;\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;.


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


b) Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;f(0) = 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


Alors :


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;'''),


'''[Fin point sensible]''' 


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;


•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''

Alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)======
 
{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 

On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

=====2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}

=====Exemples 2=====
{{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;.&quot;''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}

=====Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Partie 1====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt; ]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;,]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe), de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe, (connexe) de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

====Partie 2====

{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) &lt; \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;C^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;====

===== Conjecture =====

{{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


======Remarque importante préliminaire :======


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

======Définitions :======


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


======A)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;

où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt; 


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);
*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);
*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}

======B)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}

======C)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


======D) Partie 1)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,

mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 2)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


On pose :
 
&lt;math&gt;\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;. 


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''======


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.


J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}

======D) Partie 4)======


{{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :'''
 

Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

=====Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :''

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]'' 


''Remarque :'' 

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}

=====Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====

=====Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

=====Remarques sur la définition=====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot; :'''''

Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

===== Notations =====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

===== Remarque =====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

=====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; =====

{{Théorème|titre=|contenu= Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;'',


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,
 

et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarque :'''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''

 
Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''Conjecture qui servira :''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== 

{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de ''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;''.

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


'''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.'''

(respectivement '''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;''').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=''


De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''Définition :''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====


''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] :''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère :


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien &lt;math&gt;\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


''Compléments :''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot; à prendre en compte)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024].

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, des ensembles, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.
 

Alors : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}

====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;''''']'''''.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt;card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :

&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
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      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
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      <comment>/* Partie principale */</comment>
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      <text bytes="480520" sha1="63owujyy1efmjnw88aw3awrjgf2dqqm" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']]

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


'''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert.


'''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :'''


'''''- Il faut créer un compte Wikiversité.'''''

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'''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' 

'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

'''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) &quot;Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)&quot;], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif'''

'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' 

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''
* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''


'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.'''

'''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :'''

'''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' 


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos''' ===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''

'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===

====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

====Remarques sur la définition====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;''. 

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 
 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;

====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''Préliminaires :'''

==== Notations ====
{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.
 
avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;}}

====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


'''''Remarque : '''''


La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

====Théorème admis de HADWIGER====

{{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}

====Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et où &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;,


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;

====Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.}}


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


{{ancre|Corollaire}}

====Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;

===='''Remarque importante'''==== 


{{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====Remarque préliminaire 1====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}

====Remarque importante 4====
{{Théorème|titre=|contenu=Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}

====Proposition 5==== 
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}

====Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}

&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''

===='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''====


{{Théorème|titre=|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}

====Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

(Si de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, comme un ensemble tel que &lt;math&gt;\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt;a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

=====Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)=====

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;'', car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


et où

&lt;math&gt;\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;.


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


b) Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;f(0) = 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


Alors :


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;'''),


'''[Fin point sensible]''' 


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;


•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''

Alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)======
 
{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 

On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

=====2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}

=====Exemples 2=====
{{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;.&quot;''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}

=====Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Partie 1====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt; ]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;,]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe), de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe, (connexe) de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

====Partie 2====

{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) &lt; \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;C^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;====

===== Conjecture =====

{{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


======Remarque importante préliminaire :======


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

======Définitions :======


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


======A)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;

où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt; 


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);
*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);
*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}

======B)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}

======C)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


======D) Partie 1)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,

mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 2)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


On pose :
 
&lt;math&gt;\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;. 


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''======


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.


J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}

======D) Partie 4)======


{{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :'''
 

Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

=====Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :''

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]'' 


''Remarque :'' 

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}

=====Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====

=====Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

=====Remarques sur la définition=====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot; :'''''

Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

===== Notations =====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

===== Remarque =====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

=====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; =====

{{Théorème|titre=|contenu= Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;'',


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,
 

et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarque :'''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''

 
Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''Conjecture qui servira :''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== 

{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de ''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;''.

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


'''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.'''

(respectivement '''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;''').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=''


De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''Définition :''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====


''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] :''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère :


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien &lt;math&gt;\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


''Compléments :''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot; à prendre en compte)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024].

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, des ensembles, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.
 

Alors : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}

====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;''''']'''''.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt;card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :

&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>63owujyy1efmjnw88aw3awrjgf2dqqm</sha1>
    </revision>
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      <id>985730</id>
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      <timestamp>2026-08-12T16:58:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <origin>985730</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="480529" sha1="d77r1rxve3xbbmlh9at5doh80xht4j7" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

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'''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) &quot;Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)&quot;], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif'''

'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' 

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''
* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''


'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.'''

'''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :'''

'''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' 


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos''' ===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''

'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===

====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

====Remarques sur la définition====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;''. 

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 
 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;

====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''Préliminaires :'''

==== Notations ====
{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.
 
avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;}}

====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


'''''Remarque : '''''


La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

====Théorème admis de HADWIGER====

{{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}

====Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et où &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;,


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;

====Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.}}


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


{{ancre|Corollaire}}

====Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;

===='''Remarque importante'''==== 


{{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====Remarque préliminaire 1====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}

====Remarque importante 4====
{{Théorème|titre=|contenu=Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}

====Proposition 5==== 
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}

====Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}

&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''

===='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''====


{{Théorème|titre=|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}

====Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

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https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

(Si de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, comme un ensemble tel que &lt;math&gt;\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt;a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

=====Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)=====

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;'', car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


et où

&lt;math&gt;\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;.


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


b) Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;f(0) = 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


Alors :


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;'''),


'''[Fin point sensible]''' 


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;


•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''

Alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)======
 
{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 

On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

=====2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}

=====Exemples 2=====
{{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;.&quot;''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}

=====Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Partie 1====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt; ]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;,]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe), de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe, (connexe) de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

====Partie 2====

{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) &lt; \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;C^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;====

===== Conjecture =====

{{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


======Remarque importante préliminaire :======


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

======Définitions :======


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


======A)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;

où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt; 


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);
*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);
*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}

======B)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}

======C)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


======D) Partie 1)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,

mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 2)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


On pose :
 
&lt;math&gt;\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;. 


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''======


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.


J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}

======D) Partie 4)======


{{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :'''
 

Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

=====Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :''

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]'' 


''Remarque :'' 

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}

=====Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====

=====Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

=====Remarques sur la définition=====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot; :'''''

Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

===== Notations =====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

===== Remarque =====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

=====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; =====

{{Théorème|titre=|contenu= Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;'',


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,
 

et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarque :'''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''

 
Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''Conjecture qui servira :''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== 

{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de ''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;''.

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


'''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.'''

(respectivement '''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;''').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=''


De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''Définition :''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====


''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] :''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère :


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien &lt;math&gt;\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


''Compléments :''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot; à prendre en compte)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024].

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, des ensembles, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.
 

Alors : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}

====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;''''']'''''.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt;card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :

&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
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      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="480113" sha1="i0nh22epdiurlpqo1ts4nfsbnl92rkg" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']]

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


'''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :'''


'''''- Il faut créer un compte Wikiversité.'''''

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'''''- Il faut aller dans &quot;Préférences&quot;, puis dans &quot;Apparence&quot;.'''''


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'''''- Dans &quot;Mathématiques&quot; :'''''

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'''''* Il faut cocher : &quot;Expliquer les formules mathématiques au survol&quot;.'''''


'''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' 

'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

'''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) &quot;Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)&quot;], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif'''

'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' 

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''
* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''


'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.'''

'''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :'''

'''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' 


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos''' ===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''

'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===

====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

====Remarques sur la définition====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;''. 

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 
 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;

====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''Préliminaires :'''

==== Notations ====
{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.
 
avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;}}

====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


'''''Remarque : '''''


La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

====Théorème admis de HADWIGER====

{{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}

====Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et où &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;,


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;

====Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.}}


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


{{ancre|Corollaire}}

====Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;

===='''Remarque importante'''==== 


{{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====Remarque préliminaire 1====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}

====Remarque importante 4====
{{Théorème|titre=|contenu=Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}

====Proposition 5==== 
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}

====Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}

&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''

===='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''====


{{Théorème|titre=|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}

====Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

(Si de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, comme un ensemble tel que &lt;math&gt;\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt;a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

=====Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)=====

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;'', car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


et où

&lt;math&gt;\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;.


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


b) Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;f(0) = 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


Alors :


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;'''),


'''[Fin point sensible]''' 


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;


•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''

Alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)======
 
{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 

On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

=====2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}

=====Exemples 2=====
{{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;.&quot;''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}

=====Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Partie 1====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt; ]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;,]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe), de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe, (connexe) de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

====Partie 2====

{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) &lt; \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;C^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;====

===== Conjecture =====

{{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


======Remarque importante préliminaire :======


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

======Définitions :======


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


======A)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;

où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt; 


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);
*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);
*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}

======B)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}

======C)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


======D) Partie 1)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,

mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 2)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


On pose :
 
&lt;math&gt;\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;. 


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''======


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.


J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}

======D) Partie 4)======


{{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :'''
 

Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

=====Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :''

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]'' 


''Remarque :'' 

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}

=====Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====

=====Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

=====Remarques sur la définition=====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot; :'''''

Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

===== Notations =====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

===== Remarque =====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

=====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; =====

{{Théorème|titre=|contenu= Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;'',


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,
 

et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarque :'''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''

 
Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''Conjecture qui servira :''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== 

{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de ''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;''.

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


'''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.'''

(respectivement '''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;''').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=''


De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''Définition :''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====


''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] :''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère :


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien &lt;math&gt;\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


''Compléments :''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot; à prendre en compte)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024].

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, des ensembles, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.
 

Alors : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}

====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;''''']'''''.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt;card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :

&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>i0nh22epdiurlpqo1ts4nfsbnl92rkg</sha1>
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    <title>Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)</title>
    <ns>104</ns>
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      <timestamp>2026-08-12T14:19:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <origin>985699</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="478017" sha1="enb7lzk3ccna14blm7ap6vq3du4ji3z" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


'''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert.

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'''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' 

'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

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'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''

* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''

'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos'''===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''


'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :
*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et
*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;;


et &lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;''''']'''''.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
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    </revision>
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      <timestamp>2026-08-12T14:22:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <origin>985700</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="478019" sha1="8mw1c7lo36fs02e8x2i5bet8hh70xmd" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

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* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


'''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert.

'''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et belle police LaTeX concernant les lettres majuscules &quot;rondes&quot; et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'afficheront mal :'''


'''''- Il faut créer un compte Wikiversité.'''''

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'''''- Il faut aller dans &quot;Préférences&quot;, puis dans &quot;Apparence&quot;.'''''


'''''- Dans &quot;Habillage&quot; :'''''

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'''''* Il faut sélectionner : &quot;SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur)&quot;.'''''

'''''* Il faut cocher : &quot;Expliquer les formules mathématiques au survol&quot;.'''''


'''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' 

'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

'''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) &quot;Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)&quot;], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif'''

'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''

* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''

'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos'''===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''


'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :
*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et
*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;;


et &lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

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Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;''''']'''''.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
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      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
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      <text bytes="478021" sha1="qlfjyzbddmkq7759tdpvoztjc9ceard" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

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* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


'''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert.

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'''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' 

'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

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'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''

* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''

'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos'''===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''


'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :
*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et
*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;;


et &lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;''''']'''''.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>qlfjyzbddmkq7759tdpvoztjc9ceard</sha1>
    </revision>
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      <parentid>985703</parentid>
      <timestamp>2026-08-12T14:42:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <origin>985704</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="478036" sha1="ftvnpagx3hpkjklv6wv1aozoqx7z54p" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


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'''et en cliquant sur le bon icône.'''

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'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''

* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''

'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos'''===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''


'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :
*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et
*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;;


et &lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;''''']'''''.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
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      <timestamp>2026-08-12T14:44:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
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      <origin>985705</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="478039" sha1="esykt6rxyjvwoqpds2iokwo3jfaxtcu" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


'''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert.

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'''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' 

'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

'''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) &quot;Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)&quot;], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif'''

'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''

* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''

'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos'''===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''


'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :
*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et
*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;;


et &lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;''''']'''''.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>esykt6rxyjvwoqpds2iokwo3jfaxtcu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>985720</id>
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      <timestamp>2026-08-12T15:47:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <comment>/* Partie principale */</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="478039" sha1="6gylgxqpd8tyu2lpk36fkqomi5ama2t" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


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'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

'''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) &quot;Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)&quot;], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif'''

'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''

* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''

'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos'''===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''


'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :
*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et
*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;''''']'''''.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
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      <timestamp>2026-08-12T15:49:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <comment>/* Partie principale */</comment>
      <origin>985722</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="478042" sha1="0p9lkklwrnq1hdsxyqiz6j9225al6hy" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


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* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


'''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert.

'''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :'''


'''''- Il faut créer un compte Wikiversité.'''''

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'''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' 

'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

'''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) &quot;Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)&quot;], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif'''

'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''

* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''

'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos'''===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''


'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.


*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

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Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;''''']'''''.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
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        <username>Guillaume FOUCART</username>
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      <text bytes="478041" sha1="bzskeaz9i1n28lmtvzt60cy9rkcp33b" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

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* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

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* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


'''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert.

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'''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' 

'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

'''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) &quot;Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)&quot;], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif'''

'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''

* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''

'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos'''===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''


'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;''''']'''''.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>bzskeaz9i1n28lmtvzt60cy9rkcp33b</sha1>
    </revision>
    <revision>
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      <parentid>985723</parentid>
      <timestamp>2026-08-12T17:00:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <origin>985731</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="478050" sha1="iznuvgy5gwy8unj3j3f0r02e4jniox3" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


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'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

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'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''

* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''

'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos'''===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''


'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;''''']'''''.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>iznuvgy5gwy8unj3j3f0r02e4jniox3</sha1>
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      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="477635" sha1="6wffz8501o6bgz9364sk2nkgvskx6sd" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1]

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


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'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

'''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) &quot;Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)&quot;], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif'''

'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


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'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''

* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''

'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos'''===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''


'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;''''']'''''.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>6wffz8501o6bgz9364sk2nkgvskx6sd</sha1>
    </revision>
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  <page>
    <title>Binôme de Newton dans le cas d'un exposant impair</title>
    <ns>0</ns>
    <id>82502</id>
    <revision>
      <id>985710</id>
      <parentid>985537</parentid>
      <timestamp>2026-08-12T15:28:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alain.fabo</username>
        <id>73895</id>
      </contributor>
      <comment>/* Propriétés algébriques */ ajout de (x+y)^p-(x^p+y^p)</comment>
      <origin>985710</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="64579" sha1="lgfuzwdbod7l5t0d3cqkwufqcw2vmxd" xml:space="preserve">&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --&gt;
On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : &lt;math&gt;(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}&lt;/math&gt;.

== '''Résumé''' ==
Cet article présente, pour &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; &lt;u&gt;un entier positif impair&lt;/u&gt;, la remarquable forme &lt;math&gt;  \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2}  &lt;/math&gt;. Son &lt;u&gt;existence&lt;/u&gt; se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en &lt;math&gt;(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b &lt;/math&gt;. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients &lt;math&gt; (a,b,c,d)&lt;/math&gt;, nous étudions quelques propriétés dans &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;. D'abord, avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que &lt;math&gt;(a,b) &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(c,d) &lt;/math&gt; sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a &lt;u&gt;unicité&lt;/u&gt; des &lt;math&gt; (c,d)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;x+y=p&lt;/math&gt;  &lt;u&gt;premier&lt;/u&gt;. Enfin, si l'&lt;u&gt;exposant n est premier&lt;/u&gt;, alors les &lt;u&gt;facteurs premiers&lt;/u&gt; de &lt;math&gt; (a,b)&lt;/math&gt; sont congrus à &lt;math&gt; 1[2n]&lt;/math&gt; , et ceux de &lt;math&gt; (c,d)&lt;/math&gt; à '''&lt;math&gt; \pm 1[2n]&lt;/math&gt;'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'&lt;u&gt;exposant n pair&lt;/u&gt;, où nous trouvons que pour &lt;math&gt;x+y=p&lt;/math&gt; &lt;u&gt;premier&lt;/u&gt;, la forme&lt;math&gt;  (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2  &lt;/math&gt; existe seulement pour &lt;math&gt; x=1 &lt;/math&gt; ou &lt;math&gt; y=1 &lt;/math&gt;. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème.

== '''Introduction''' ==
Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme &lt;math&gt;  (x+y) ^n &lt;/math&gt;, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''&lt;math&gt; (x,y)&lt;/math&gt;''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que &lt;math&gt;  (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 &lt;/math&gt; .

Ces expressions utilisent les mêmes fonctions &lt;math&gt;f_n(x,y)&lt;/math&gt; suivantes :
{{définition|contenu=
&lt;math&gt;
\begin{array}{ll}
n=2m+1 \\
&amp;f_n(x,y) &amp;=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\
&amp;&amp;=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k
\end{array}
&lt;/math&gt;}}'''Exemple''':

&lt;math&gt;\quad 
\begin{array}{lll}
f_3(x,y)=x+3y \\
f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\
f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\
f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\
\end{array}
&lt;/math&gt;

== '''Propriétés algébriques''' ==
Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif

=== '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' ===
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; 
 (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1)
&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme :

&lt;math&gt;
(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k
= \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1}
&lt;/math&gt;

soit
&lt;math&gt;
(x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k}
&lt;/math&gt;

En posant
&lt;math&gt; 
k'=m-k
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'}
&lt;/math&gt;


D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}}

=== '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' ===
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt;
(x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés}
&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : 
&lt;math&gt;
(x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2)
&lt;/math&gt;

En prenant &lt;math&gt;-y&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;
(x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2)
&lt;/math&gt;

En multipliant les deux dernières expressions :
&lt;math&gt;
(x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2
&lt;/math&gt;

D'où la formule en substituant &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;(x^2,y^2)&lt;/math&gt;}}'''Exemples''' 

&lt;math&gt;\begin{array}{l}
(x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\
(x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\
\\
(x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\
(x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 
\end{array}&lt;/math&gt;

=== '''xⁿ+yⁿ''' ===
{{Propriété|titre=Propriétés|contenu=&lt;math&gt;\quad 
\begin{array}{rll}
(x+y)^n+(x-y)^n&amp;=2xf_n(x^2,y^2)&amp;\quad(3)\\
\\
\dfrac{x^n+y^n}{x+y}&amp;= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &amp;\quad(3bis)\\
\\
f_n(x^2,y^2)&amp;=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&amp;\quad(4) \\
\end{array}
&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1)

(3bis) : Par changement de variable &lt;math&gt;(x+y,x-y)=(u,v) &lt;/math&gt; soit  &lt;math&gt;(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)&lt;/math&gt;

Ensuite la définition donne la propriété &lt;math&gt;f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m&lt;/math&gt;

Soit ici avec des carrés &lt;math&gt;f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}&lt;/math&gt;

(4) : En identifiant avec l'identité remarquable
&lt;math&gt;u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j&lt;/math&gt;|titre=Démonstration}}On pourra rappeler ici le résultat de Gauss qui relie la somme de puissance, et donc &lt;math&gt;f_p(x^2,y^2)&lt;/math&gt; avec les formes quadratiques:
{{Propriété|titre=Théorème|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier, &lt;math&gt;\quad 
\dfrac{x^p+y^p}{x+y}=X^2 + (-1)^{\frac{p+1}2} pY^2 \quad \quad \text{: formule de Gauss}
&lt;/math&gt;

Ce qui est équivalent : &lt;math&gt;f_p(u^2,v^2)=\dfrac{(u+v)^p+(u-v)^p}{2u}=\left( X^2+(-1)^{\frac{p+1}2}pY^2 \right) &lt;/math&gt;}}

Le calcul des carrés n'est pas simple&lt;ref name=&quot;:5&quot; /&gt;.C'est plus simple en faisant un changement de variable

'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{llll}
(u+v)^3+(u-v)^3&amp;=2u\left( X^2+3Y^2 \right)&amp; \quad X,Y=u,v\\
(u+v)^5+(u-v)^5&amp;=2u\left( X^2-5Y^2 \right)&amp; \quad X,Y=u^2+5v^2, 2v^2 \\
(u+v)^7+(u-v)^7&amp;= 2u\left(X^2 + 7Y^2\right)&amp; \quad X,Y=u(u^2 + 7 v^2), v(u^2 - v^2)\\
(u + v)^{11} + (u - v)^{11} &amp;= 2 u (X^2+11Y^2)&amp; \quad X,Y=u(u^4 - 22 u^2 v^2 - 11 v^4), v(3 u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4)
\end{array}&lt;/math&gt;


Nous pouvons observer la régularité suivante:

{{Propriété|titre=Proposition|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier,  &lt;math&gt;\dfrac{(u+v)^p+(u-v)^p}{2u}=\left( X^2+(-1)^{\frac{p+1}2}pY^2 \right) &lt;/math&gt;

Alors &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; divise toujours &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; divise X pour &lt;math&gt;p=3[4]&lt;/math&gt;}}

Par contre, contrairement aux formules (1) et (2), nous n'avons pas trouvé de régularité sur les facteurs premiers des X ou des Y.

C'est ce que nous allons voir dans le chapitre suivant en étudiant les propriétés dans &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;

'''(x+y)ⁿ-(xⁿ+yⁿ)'''

Afin d'être complet, nous  rappelons aussi la factorisation de &lt;math&gt;(x+y)^p-(x^p+y^p), p\in \mathbb{P}&lt;/math&gt;
{{Propriété|titre=Théorème|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier plus grand que 5:

&lt;math&gt;(x+y)^p-(x^p+y^p)=pxy(x+y)(x^2+xy+y^2)^kQ(x,y) &lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;k=1&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;p \equiv -1[6]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k=2&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;p \equiv 1[6]&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=La divisibilité par p vient du petit théorème de Fermat. 

Celle par xy en factorisant le binôme. 

Celle par x+y vient de la factorisation de &lt;math&gt;x^p+y^p&lt;/math&gt; par  &lt;math&gt;x+y&lt;/math&gt;.

Celle par &lt;math&gt;x^2+xy+y^2&lt;/math&gt; vient en prenant y=1. On obtient alors le polynôme &lt;math&gt;X^2+X+1&lt;/math&gt; qui a pour racine &lt;math&gt;w=e^{2i\pi /3}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;w^2&lt;/math&gt;. Et qui donne donc la relation &lt;math&gt;1+w=-w^2&lt;/math&gt;
On vérifie que ces racines ce sont aussi celles de &lt;math&gt;(X+1)^p-(X^p+1)&lt;/math&gt;.

Pour la multiplicité k, on vérifie sur &lt;math&gt;P'(X)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; P''(X)&lt;/math&gt;}}'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
(x+y)^3-(x^3+y^3)&amp;= 3x y (x + y)\\
(x+y)^5-(x^5+y^5)&amp;= 5x y (x + y) (x^2 + x y + y^2)\\
(x+y)^7-(x^7+y^7)&amp;=7xy (x + y) (x^2 + x y + y^2)^2 \\
(x+y)^{11}-(x^{11}+y^{11})&amp;=11xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})&amp;(x^{6} + 3 x^{5}  y + 7 x^{4} y^{2} + 9 x^{3} y^{3} + \text{symétrique}) \\
(x+y)^{13}-(x^{13}+y^{13})&amp;=13xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})^{2}&amp; (x^{6} + 3  x^{5}  y + 8  x^{4}  y^{2} + 11  x^{3}  y^{3} +\text{sym})\\
(x+y)^{17}-(x^{17}+y^{17})&amp;=17xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2}) &amp; (x^{12} + 6  x^{11}  y + 26  x^{10}  y^{2} + 75  x^{9}  y^{3} + 156  x^{8}  y^{4} + 240  x^{7}  y^{5} + 277  x^{6}  y^{6} + \text{sym} )\\
(x+y)^{19}-(x^{19}+y^{19})&amp;=19xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})^{2}&amp; (x^{12} + 6  x^{11}  y + 28  x^{10}  y^{2} + 85  x^{9}  y^{3} + 184  x^{8} y^{4} + 292  x^{7}  y^{5} + 341  x^{6}  y^{6} + \text{sym})\\
...
\end{array}&lt;/math&gt;

== '''Propriétés dans ℤ''' ==
On supposera dans la suite &lt;math&gt;(u,v) \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; copremiers

=== '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' ===
La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers

'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
17^3&amp;= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &amp;+ 12\times 3^2&amp;=5\times (31)^2 &amp;+ 12\times (3)^2\\
17^5&amp;= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &amp;+ 12\times 331^2&amp;=5\times (5\cdot29)^2 &amp;+ 12\times (331)^2\\
17^7&amp;= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&amp;+ 12\times 3767^2&amp;=5\times (6929)^2&amp;+ 12\times (3767)^2\\
17^9&amp;=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&amp;+ 12\times 42921^2 &amp;=5\times (31\cdot4481)^2&amp;+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\
...
\end{array}&lt;/math&gt;

Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre 

=== Parité et 2-valuation ===
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u, v)&lt;/math&gt; de parité différente &lt;math&gt; \Rightarrow f_n(u,v)&lt;/math&gt; impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; de parité différente:

Par définition &lt;math&gt;f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)&lt;/math&gt; . 
n étant impair, alors &lt;math&gt;f_n(u,v)&lt;/math&gt; est impair|titre=Démonstration}}
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u, v)&lt;/math&gt; impairs ou de parité différente, alors &lt;math&gt; \dfrac{u^n+v^n}{u+v}&lt;/math&gt;  impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; de parité différente, on a un quotient de 2 impairs

si  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; impairs,&lt;math&gt; (u,v)=(a+b,a-b)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; de parité différente. 

Or (3) donne  &lt;math&gt;\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)&lt;/math&gt;, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}}
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u, v)&lt;/math&gt; impairs&lt;math&gt; \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt;  impairs, on peut toujours changer de variable:  

&lt;math&gt;(u,v)=(x+y,x-y) &lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; de parité différente. 

D'après (4bis), &lt;math&gt;f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j&lt;/math&gt;

Or &lt;math&gt;\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)&lt;/math&gt; est impair avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; de parité différente


Ce qui implique que &lt;math&gt; f_n(u^2,v^2)&lt;/math&gt;  a nécessairement une 2-valuation de &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;|titre=Démonstration}}
=== '''Coprimalité''' ===
Nous considérerons dans la suite &lt;math&gt;(u,v) &lt;/math&gt; copremiers &lt;u&gt;de parité différente&lt;/u&gt;{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente
&lt;math&gt;
 \Rightarrow\begin{cases}
f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &amp;(5) \\
n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &amp;(6)\\
\end{cases}
&lt;/math&gt;|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si &lt;math&gt;u,v &lt;/math&gt; de parités différentes alors &lt;math&gt;f(v,u) &lt;/math&gt; sont impairs.   

Considérons &lt;math&gt;p &lt;/math&gt; un diviseur premier impair commun. On a donc &lt;math&gt;f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv  0 ~[p] &lt;/math&gt; . La forme  (2) implique &lt;math&gt;u \equiv v ~[p] &lt;/math&gt;

En réinjectant dans la définition de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, on obtient: 

&lt;math&gt;f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m  (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] &lt;/math&gt;

Par conséquent &lt;math&gt;f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] &lt;/math&gt;. Même résultat pour &lt;math&gt;v &lt;/math&gt;.

Ainsi tout diviseur premier commun à  &lt;math&gt;f(u,v) &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f(v,u) &lt;/math&gt; divise aussi &lt;math&gt;u &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;v &lt;/math&gt;.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' &lt;math&gt;f(u,v)=nv^m +uP(u,v) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;P &lt;/math&gt; un polynôme .

Avec &lt;math&gt; u \wedge nv^m =1 &lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt; u \wedge f(u,v)=1 &lt;/math&gt;, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|&lt;math&gt;f_n(u,v)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f_n(u^2,v^2)&lt;/math&gt; ne sont pas forcément premiers entre eux!

&lt;math&gt;
\begin{array}{ll}
f_{11}(29,18)&amp;=  6117463571&amp;= 23 \times 109 \times 2440153\\
f_{11}(29^2,18^2)&amp;=42623439661994533 &amp;= 23 \times 67 \times 27659597444513
\end{array}
&lt;/math&gt;}}


=== '''Puissance n première''' ===
Ici on considérera &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; &lt;u&gt;premier impair&lt;/u&gt;

==== n-valuation  ====
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; n&lt;/math&gt; premier impair, &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente.

&lt;math&gt;
\Rightarrow
\begin{cases}
n\nmid u \Rightarrow n\nmid  f_n(u,v) \\
n\mid   u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &amp;(7)
\end{cases}
&lt;/math&gt;|titre=Proposition}}'''Exemples''':

&lt;math&gt;\begin{array}{l}
(u,v)= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\
f_{3} (u,v)=23\times 1867 \\
f_{\color{red}5}  (u,v)= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\
f_{\color{green}7}  (u,v)= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\
f_{11} (u,v)=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019
\end{array}&lt;/math&gt;{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est premier, &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; divise tous les coefficients binomiaux.

Si &lt;math&gt;n \ge 5&lt;/math&gt; , on peut écrire  &lt;math&gt;\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;P &lt;/math&gt; polynôme.|titre=Démonstration}}


==== Facteurs premiers modulo 2n ====
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; n&lt;/math&gt; premier impair, &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente, &lt;math&gt;n\nmid u&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
f_n(u,v)&amp;=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&amp;(8) \\ 
f_n(u^2,v)&amp;=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&amp;(9) \\ f_n(u^2,v^2)&amp;=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &amp;(10)
\end{cases}
&lt;/math&gt;|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}&lt;/ref&gt; : &quot;''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn&quot;'' 

En résumé, d'après (3bis) : &lt;math&gt;2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) &lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;p \neq n&lt;/math&gt; un diviseur premier impair de &lt;math&gt;\dfrac{x^n+y^n}{x+y}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x^n+y^n \equiv 0[p]&lt;/math&gt;   donne    &lt;math&gt;\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]&lt;/math&gt;,      soit &lt;math&gt;\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]&lt;/math&gt;

D'après le petit théorème de Fermat &lt;math&gt;\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]&lt;/math&gt;

Donc  &lt;math&gt;p-1\mid 2n&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;p \equiv 1 [2n]&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}&lt;/ref&gt; : &quot;''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''&quot;

L'idée est d'utiliser la relation sous la forme:

&lt;math&gt;
(\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x)
&lt;/math&gt; et de travailler dans &lt;math&gt;\mathbb{Z/n^2 Z}&lt;/math&gt;}}

==== Exemples ====
&lt;math&gt;f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]&lt;/math&gt; : Les facteurs premiers tous congrus à &lt;math&gt;\pm 1[2n]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
f_{ 5 }( 6 , 11 ) &amp;=1301 &amp;\equiv1&amp;[ 10 ] \\
f_{ 7 }( 6 , 11 ) &amp;=181\times239 &amp;\equiv-1\times1 &amp;[ 14 ] \\ 
f_{ 11 }( 6 , 11 ) &amp;=47820079 &amp;\equiv1&amp;[ 22 ] \\
f_{ 13 }( 6 , 11 ) &amp;=8969\times177269 &amp;\equiv-1\times1 &amp;[ 26 ] \\ 
f_{ 19 }( 6 , 11 ) &amp;=151\times386989747169 &amp;\equiv-1\times-1 &amp;[ 38 ] \\ 
f_{ 23 }( 6 , 11 ) &amp;=5278223\times12238317893 &amp;\equiv-1\times-1 &amp;[ 46 ] \\ 
f_{ 29 }( 6 , 11 ) &amp;=233\times521\times1309699\times14932891583 &amp;\equiv1\times-1\times1\times-1 &amp;[ 58 ] \\
...
\end{array}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;f_n(u^2,v)\equiv  1[2n]&lt;/math&gt; : Le nombre de facteurs en &lt;math&gt;-1[2n]&lt;/math&gt; est pair.

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=5861 &amp;\equiv1&amp;[ 10 ] \\
f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=507809 &amp;\equiv1&amp;[ 14 ] \\
f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=89\times6029\times7129 &amp;\equiv1\times1\times1 &amp;[ 22 ] \\ 
f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=883\times2341\times160627 &amp;\equiv-1\times1\times-1 &amp;[ 26 ] \\ 
f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=67\times187067\times199591969 &amp;\equiv-1\times-1\times1 &amp;[ 34 ] \\ 
f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &amp;=229\times683\times1901\times2963\times246469 &amp;\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &amp;[ 38 ] \\ 
f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&amp;=367 \times 4457595074737380607  &amp;\equiv-1\times-1 &amp;[ 46 ] \\ 
f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&amp;=1069838719517673460520580221 &amp;\equiv1&amp;[ 58 ] \\
...
\end{array} 
&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;f_n(u^2,v^2)\equiv  1[2n] &lt;/math&gt; : Les facteurs premiers tous congrus à &lt;math&gt;1[2n]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{lll} 
f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 118061 &amp;\equiv1&amp;[ 10 ] \\
f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 34188379 &amp;\equiv1&amp;[ 14 ] \\
f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 23\times89\times2377\times586961 &amp;\equiv1\times1\times1\times1 &amp;[ 22 ] \\ 
f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 30187\times27342279823 &amp;\equiv1\times1 &amp;[ 26 ] \\ 
f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 2129\times3079\times3039225397425209 &amp;\equiv1\times1\times1 &amp;[ 38 ] \\ 
f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;=1663964075070633572800332299&amp;\equiv1&amp;[ 46 ]  \\
f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;=59\times11250493\times60508154689065340703592763&amp;\equiv1\times1\times1 &amp;[ 58 ]  \\
...
\end{array}
&lt;/math&gt;

=== Unicité ===

==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ====
Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles  &lt;math&gt;(u+v)^n=u.a+v.b &lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;(u,v) &lt;/math&gt; premiers entre eux de parité différente, et &lt;math&gt; (a,b)&lt;/math&gt; n'ayant que des facteurs premiers en '''&lt;math&gt;1[2n] &lt;/math&gt;'''. Nous considérons aussi le cas  &lt;math&gt;n|u&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;v_n(a)=2&lt;/math&gt;. 

L'exemple '''&lt;math&gt;z=7^5 &lt;/math&gt;''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie:  

{{Exemple déroulant|contenu=&lt;math&gt; 
\begin{array}{lll}  
7^5&amp;= 1 \times( 61 )&amp;+ 6 \times( 2791)\\
&amp;= 1 \times( 241 )&amp;+ 6 \times( 11\times251)\\

&amp;...\\
&amp;= 1 \times( 6481 )&amp;+ 6 \times( 1721)\\
&amp;= 3 \times( 31\times71 )&amp;+ 4 \times( 2551)\\
        &amp; =\color{blue}1\times  (6841) &amp;+\color{blue}6\times(11\times151)\\ 
&amp;= 3\times(2441) &amp;+ 4\times(2371)\\
&amp;= 1\times(11\times11\times61) &amp;+ 6\times(1571)\\
&amp;...\\
&amp;= 1\times(8161) &amp;+ 6\times(11\times131)\\
&amp;= 3\times(11\times251) &amp;+ 4\times(2131)\\
&amp;              =\color{red}   3\times(2801) &amp;+ \color{red}  4\times(11\times191)\\

&amp;= 1\times (8521) &amp;+ 6\times(1381)\\
 &amp;\color{green}            = 5\times(5\times11\times31) &amp;+ \color{green}2\times(41\times101)\\
&amp;= 1\times(8641) &amp;+ 6\times(1361)\\
&amp;... \\
&amp;= 5 \times( 5\times401 )&amp;+ 2 \times( 3391)\\
&amp;= 5 \times( 5\times521 )&amp;+ 2 \times( 31\times61)\\
&amp;... \\
&amp;=1 \times (16741) &amp;+ 6 \times( 11)
\end{array}
&lt;/math&gt;|titre=Exemple des 114 occurrences pour &lt;math&gt;7^5&lt;/math&gt;}}

Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint &quot;uniquement&quot; :

&lt;math&gt;\begin{array}{lll} 
7^5&amp;=\color{blue}1\times (6841)&amp;+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\
&amp;=\color{red}3 \times (2801)&amp;+ \color{red}4\times (11 \times  191)\\
&amp;=\color{green}5 \times (5\times  11\times  31)&amp;+\color{green}2\times (41\times  101) \\
\end{array} &lt;/math&gt;

Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en &lt;math&gt;\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{green}5a+2b&lt;/math&gt;

'''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? 


'''Remarque''': 

Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des  '''&lt;math&gt;-1[2n] &lt;/math&gt;'''. 

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
7^5&amp;=1 \times (11^2)^2&amp;+ 6\times (19)^2\\
&amp;=3 \times (31\times19)^2&amp;+ 4\times (59)^2\\
&amp;=5 \times (5\times  11)^2&amp;+2\times (29)^2 \\
\end{array} &lt;/math&gt;

Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''&lt;math&gt;1[2n] &lt;/math&gt;'''.Par exemple:

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
9^5&amp;=1 \times (241)^2&amp;+ 8\times (11)^2\\
15^5&amp;=7 \times (191)^2&amp;+ 8\times (251)^2\\\\
\end{array} &lt;/math&gt;

==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ====
Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique

{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier impair.
Alors pour tout couple &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; d'entiers strictement positifs tels que &lt;math&gt;p=u+v&lt;/math&gt; et pour tout entier impair &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; il existe un unique couple &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que &lt;math&gt;p^n=uc^2+vd^2&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: 
&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}&lt;/ref&gt;


Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths:

Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que &lt;math&gt; p=a+b&lt;/math&gt; . On suppose &lt;math&gt;p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;u,v&lt;/math&gt; premiers entre eux ainsi que &lt;math&gt;x,y&lt;/math&gt;.
En combinant les égalités on obtient &lt;math&gt;p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;p^n&lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;(uy-vx)(uy+vx)&lt;/math&gt;.

On montre assez facilement que &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ne peut pas diviser simultanément &lt;math&gt;uy-vx&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;uy+vx&lt;/math&gt; et on en déduit que &lt;math&gt;p^n&lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;uy-\varepsilon vx&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\varepsilon=\pm1&lt;/math&gt;.

Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de &lt;math&gt;p^n&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2&lt;/math&gt;.

On en déduit &lt;math&gt;uy=\varepsilon vx&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;u=x&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;v=y&lt;/math&gt;}}'''Exemples''':

les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique 

&lt;math&gt;\begin{align}
3^3&amp;= 1 \cdot 5 ^2    &amp;+&amp; 2 \cdot 1 ^2
\\
5^3&amp;= 1 \cdot 11 ^2   &amp;+&amp; 4 \cdot 1 ^2\\
&amp;= 3 \cdot 3 ^2    &amp;+&amp; 2 \cdot 7 ^2\\
\\
15^3&amp;= 1 \cdot 41 ^2&amp;+ &amp;14 \cdot 11 ^2 \\
&amp;=7 \cdot 17 ^2&amp;+&amp; 8 \cdot 13 ^2 \\
&amp;={\color{red}11} \cdot 1^2   &amp;+&amp; {\color{red}4} \cdot 29 ^2 
    &amp;= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot  7^2  \\
 &amp;= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&amp;+&amp; {\color{green}2} \cdot 37 ^2 
 &amp;= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 
\end{align}&lt;/math&gt;


== '''Remarques sur l'exposant pair''' ==


L'idée est de rechercher des formes  &lt;math&gt;z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; copremiers. 

Pour tous  &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; , l'informatique sort systématiquement une solution du type &lt;math&gt;z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 &lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;u=1 \text{ ou } v=1&lt;/math&gt;

Pour les &lt;u&gt;nombres premiers&lt;/u&gt;, c'est la &lt;u&gt;seule et unique&lt;/u&gt; forme:

&lt;math&gt;\begin{align}
7 ^ 2 &amp;=  ( 5 )^2&amp; +&amp; 6 \cdot ( 2 )^2 \\
7 ^ 4&amp; = ( 1 )^2 &amp;+&amp; 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\
7 ^ 6 &amp;= ( 5\times47 )^2 &amp;+&amp; 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\
7 ^ 8 &amp;=  ( 2399 )^2&amp; +&amp; 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2
\end{align}&lt;/math&gt;

Pour les nombres composés, on observe des doublons comme:

&lt;math&gt;\begin{align}
21 ^ 2 &amp;= ( 19 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2 )^2 \\
 &amp;= ( 11 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\
\\
21 ^ 6 &amp;= ( 11\times11\times19 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\
&amp; =  ( 11\times839 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\
\\
15 ^ 4 &amp;= ( 113 )^2 &amp;+&amp; 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\
&amp; = ( 223 )^2&amp; +&amp; 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2
\end{align}&lt;/math&gt;


Et parfois apparaissent d'autres cas que &lt;math&gt;u=1 \text{ ou } v=1&lt;/math&gt;, avec éventuellement des doublons 

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
21 ^ 2 &amp;= 17 \cdot ( 5 )^2 &amp;+&amp; 4 \cdot ( 2 )^2 \\
33 ^ 2 &amp;= 31 \cdot ( 1 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 23 )^2 \\
&amp;= 17 \cdot ( 7 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\
\\
21 ^ 6 &amp;= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &amp;+&amp; 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\
33 ^ 6&amp; = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\
&amp;= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &amp;+ &amp;2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;


Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme.

On arrive alors à une forme &lt;math&gt;(x+y)^{2m}
= A^2+xy\cdot B^2&lt;/math&gt;

{{Proposition|épaisseur=1px|contenu=&lt;math&gt;n=2m&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt; \quad (x-y)^n
= A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2
-xy \cdot  \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2
&lt;/math&gt;}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les &lt;math&gt;f_n(x,y) &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f_n(y,x) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k
= \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(x-y)^n
= \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;(x-y)^n
= A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)&lt;/math&gt;

Par conséquent &lt;math&gt;(x+y)^n
= A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)&lt;/math&gt;

Comme pour le cas impair en multipliant, &lt;math&gt;(x^2-y^2)^n
= A^2-x^2y^2\cdot B^2&lt;/math&gt;

Puis on substitue &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;(x^2,y^2)&lt;/math&gt;}}

'''Exemples''':

&lt;math&gt;\begin{array}{llll}
(x+y)^2&amp;= \left(x-y\right)^2 &amp;+&amp;xy\cdot \left(2\right)^2 \\
(x+y)^4&amp;= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&amp;+&amp;xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\
(x+y)^6&amp;= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &amp;+&amp;xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2
\end{array}&lt;/math&gt;


Si on cherche &lt;math&gt;(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d
^2&lt;/math&gt;, alors la formule ne va être applicable que pour les cas &lt;math&gt;u=1 \text{ ou } v=1&lt;/math&gt;. Et pour &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet:

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
17 ^ 6&amp; = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &amp;+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\
 =289^3&amp;=  225 \cdot ( 3\times11 )^2 &amp;+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 
\end{array} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
23 ^ 6 &amp;= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &amp;+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\
=529 ^ 3 &amp;= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &amp;+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;

Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires &lt;math&gt;n=2^k&lt;/math&gt;

'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2 )^2\\
17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\
17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;


On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers:

{{Proposition|épaisseur=1px|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier impair et  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; 2 entiers positifs tels que &lt;math&gt;p=u+v&lt;/math&gt;

Alors la forme &lt;math&gt;p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2&lt;/math&gt; , &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; copremiers, n'existe que pour  &lt;math&gt;u=1&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;v=1&lt;/math&gt;.
De plus, elle est unique.}}
{{Démonstration déroulante|contenu=

La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair.

Avec &lt;math&gt;p=a+b&lt;/math&gt;. Pour montrer l'inexistence pour &lt;math&gt;a\neq1 \text{ et } b\neq1&lt;/math&gt;, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;p^{2n}=au^2+bv^2&lt;/math&gt;alors il existe &lt;math&gt;(u',v')&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;p^{2n-2}=au'^2+bv'^2&lt;/math&gt;. Jusqu'à &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; et ainsi conclure que &lt;math&gt;a=1 \text{ ou } b=1&lt;/math&gt;

Le passage de &lt;math&gt;2n&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;2n-2&lt;/math&gt; se fait en deux étapes. On peut supposer que &lt;math&gt;p \nmid u&lt;/math&gt; (sinon c'est fait).

&lt;math&gt;a+b \equiv 0 \pmod p&lt;/math&gt;, donc &lt;math&gt;u^2\equiv v^2\pmod p&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;v=\varepsilon u+pw&lt;/math&gt;. 

Ce qui donne  &lt;math&gt;p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2&lt;/math&gt;.

On en déduit  &lt;math&gt;p \mid u+2\varepsilon bw &lt;/math&gt;, d'où &lt;math&gt;u+2\varepsilon bw=pt&lt;/math&gt;

En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme &lt;math&gt;p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2&lt;/math&gt;

En simplifiant par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; puis en utilisant &lt;math&gt;p=a+b&lt;/math&gt;, on obtient &lt;math&gt;p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2&lt;/math&gt;
}}

{{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu=
Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un premier impair.
Alors  &lt;math&gt;\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1&lt;/math&gt;  tels que  &lt;math&gt;p^2=c^2+(p-1)d^2&lt;/math&gt;

En l'occurrence &lt;math&gt;p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)&lt;/math&gt;
|épaisseur=1px}}

'''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
21 ^ 2 &amp;= ( 19 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2 )^2 \\
 &amp;= \color{red}( 11 )^2&amp;+&amp; \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\
&amp; = 17 \cdot ( 5 )^2&amp;+&amp;4 \cdot ( 2 )^2\\
\\
33 ^ 2&amp;=  ( 31 )^2&amp;+&amp;32 \cdot ( 2 )^2 \\
 &amp;=\color{red}( 17 )^2&amp;+&amp;\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\
&amp;= 17 \cdot ( 7 )^2&amp;+&amp;16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\
&amp;= 31 \cdot ( 1 )^2&amp;+&amp;2 \cdot ( 23 )^2 \\
\\
35 ^ 2&amp;=  ( 3\times11 )^2 &amp;+&amp; 34 \cdot ( 2 )^2\\
&amp; = \color{red}( 1 )^2 &amp;+&amp;\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2

\end{array}&lt;/math&gt;


{{Attention| La réciproque est fausse }}

39 a une unique forme sur &lt;math&gt;(1,38)&lt;/math&gt;, mais une autre sur &lt;math&gt;(25,14)&lt;/math&gt;, ce qui &quot;trahit&quot; sa non-primalité.

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &amp;= ( 37 )^2 &amp;+&amp; 38 \cdot ( 2 )^2\\
&amp; = 25 \cdot ( 5 )^2 &amp;+&amp; 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2


\end{array}&lt;/math&gt;

Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en &lt;math&gt;a\cdot u^2+b\cdot v^2&lt;/math&gt;. Puis ensuite 93

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&amp;=  ( 5\times17 )^2 &amp;+&amp; 86 \cdot ( 2 )^2\\
93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&amp;=( 7\times13 )^2 &amp;+&amp; 92 \cdot ( 2 )^2 


\end{array}&lt;/math&gt;

Cependant ils &quot;trahissent&quot; leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
87 ^ 3 &amp;= 85 \cdot ( 79 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\
&amp;= 85 \cdot ( 17 )^2&amp; +&amp; 2 \cdot ( 563 )^2 \\
93 ^ 3&amp; = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 271 )^2\\
&amp;= 91 \cdot ( 37 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 11\times53 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;

== '''Remarques sur le trinôme''' ==
on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] &lt;math&gt;(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}&lt;/math&gt;

On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme.

* Déjà l’existence de triplets &lt;math&gt;(a,b,c)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2&lt;/math&gt; avec les facteurs premiers de &lt;math&gt;(a, b, c)&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\pm1[2n]&lt;/math&gt; ?

Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions.

On donne quelques exemples ici :

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
19^5=(1+7+11)^5 &amp;= 1\times911^2&amp;+ 7\times251^2 &amp;+11\times331^2\\
25^5 =(7+5+13)^5&amp;= 7\times701^ 2&amp;+ 5\times571^2&amp;+ 13\times601^2\\
9^7 = (3+5+1)^7&amp;= 3 \times 449  ^2&amp;+ 5 \times 911^2&amp;+ 1 \times 13 ^4
\end{array} &lt;/math&gt; 

* Ensuite, l’existence de formes &lt;math&gt;x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)&lt;/math&gt; avec les facteurs premiers de &lt;math&gt;f_n(x,y,z)&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;1 [2n]&lt;/math&gt;

Oui. Quelques exemples ici :

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\
8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\
8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 
\end{array} &lt;/math&gt;

Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale

== '''Conclusion''' ==
Afin de généraliser à &quot;toutes les puissances&quot;, nous pouvons condenser les résultats trouvés dans la proposition suivante : 

Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; &lt;u&gt;un premier impair&lt;/u&gt; et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; un &lt;u&gt;entier positif&lt;/u&gt;. Alors il existe 2 &lt;u&gt;uniques&lt;/u&gt; entiers positifs &lt;math&gt;(c, d)&lt;/math&gt; premiers entre eux tels que &lt;math&gt;p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2  &lt;/math&gt;. De plus, si l'exposant &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est premier impair, les facteurs premiers de &lt;math&gt;(u, v)&lt;/math&gt; sont &lt;u&gt;congrus&lt;/u&gt; à &lt;math&gt; \pm 1[2n]&lt;/math&gt;.

L'existence est assurée par les relations  &lt;math&gt;p=1^2+(p-1)1^2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 &lt;/math&gt; , où ici &lt;math&gt;(a,b)=(1,p-1)&lt;/math&gt;. Mais on peut s'étonner de l'&lt;u&gt;unicité&lt;/u&gt; qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de &quot;''ligne de crête''&quot; remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers &lt;math&gt;p\equiv 1 [4]&lt;/math&gt; il existe 2 &lt;u&gt;uniques&lt;/u&gt; &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;p = a^2+b^2&lt;/math&gt;, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les &lt;math&gt;(p^{2k-1}, p^{2k})&lt;/math&gt; ayant exactement &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier &lt;math&gt;p\equiv 1 [4]&lt;/math&gt;, il n'existe pas de formule pour trouver directement les &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;, mais des algorithmes.  Le chemin  &lt;math&gt;p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2  &lt;/math&gt; est directement accessible, avec des formules explicites pour les &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt;. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à &lt;math&gt; \pm 1[2n]&lt;/math&gt;, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique.

== '''Applications''' ==

===  Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b ===
Soient les coniques du type &lt;math&gt;a x^2 - b y^2= a - b &lt;/math&gt;

En réécrivant &lt;math&gt;\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 &lt;/math&gt;. Alors d'un point &lt;math&gt;(1,1)&lt;/math&gt; solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance &lt;math&gt;n &lt;/math&gt; et l'utilisation de la formule des carrés :  &lt;math&gt;\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 &lt;/math&gt;

Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en &quot;tournant&quot;

[[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des &lt;math&gt;f_n(x,y)&lt;/math&gt; à partir de (1;1)|cadre|centré]]

[[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]]


=== Équation de Bachet-Mordell ===
Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type &lt;math&gt;y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites).

Ici nous travaillons pour &lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; (''équation de Bachet'')

Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour &lt;math&gt;k=(3n^2 + 1)_n &lt;/math&gt; , &lt;math&gt;k=(3n^2 -1)_n &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n &lt;/math&gt;

On part de l'identité remarquable :

{{Encadre|contenu=&lt;math&gt;
(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2
&lt;/math&gt;|épaisseur=1px}}

2 possibilités:

1) On pose &lt;math&gt;(a,b)=(1,x-1)&lt;/math&gt;, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube:

{{Encadre|contenu=&lt;math&gt;
\begin{array}{clclcr}
x^3&amp;=&amp;(3x-4)^2&amp;+&amp;(x-1)(x-4)^2 &amp;\quad(E3)\\ 
x^3&amp;=&amp;y^2&amp;+&amp;-k

\end{array}&lt;/math&gt;|épaisseur=1px}}

Voici les solutions pour &lt;math&gt;b=1,2,3,4,5,...&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\begin{array}{rrr}
(E3):&amp;(x,y,k)=
( 1 , 1 , 0 ),
{\color{red}( 2 , 2 , -4 )},
{\color{green}( 3 , 5 , -2 )},
( 4 , 8 , 0 ),
{\color{red}( 5 , 11 , -4 )},
( 6 , 14 , -20 ),
( 7 , 17 , -54 ),
( 8 , 20 , -112 ),
( 9 , 23 , -200 ),~...
\end{array}&lt;/math&gt;

On remarque ici que ce &quot;partage&quot; du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir &lt;math&gt;\color{green}y^2=x^3 -2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\color{red}y^2=x^3 -4&lt;/math&gt;. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré.


2) On change &lt;math&gt;b\rightarrow b^2 &lt;/math&gt;, ce qui donne &lt;math&gt;(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2
&lt;/math&gt;

On a un premier carré. 

On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant &lt;math&gt;(a-3b^2)^ 2=1
&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;a=3b^2 + 1
&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;a=3b^2 - 1
&lt;/math&gt;

{{Encadre|contenu=&lt;math&gt;
\begin{array}{lclclcl}
a=3b^2+1\Rightarrow&amp;(4b^2+1)^3&amp;=&amp;(3b^2+1)&amp;+&amp;\left(b(8b^2+3)\right)^2&amp;\quad(E1)\\
a=3b-1\Rightarrow&amp;(4b^2-1)^3&amp;=&amp;(3b^2-1)&amp;+&amp;\left(b(8b^2-3)\right)^2&amp;\quad(E2)\\
&amp;x^3&amp;=&amp;-k&amp;+&amp;y^2
\end{array}&lt;/math&gt;|épaisseur=1px}}

Ce qui donne comme solutions pour &lt;math&gt;b=1,2,3,4,5,...&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{llrrrrr}
(E1):&amp;(x,y,k)=
\color{red}( 5 , 11 , -4 ),
&amp;( 17 , 70 , -13 ),
&amp;( 37 , 225 , -28 ),
&amp;( 65 , 524 , -49 ),
&amp;(  101 , 1015 , -76),~ ... \\
(E2):&amp;(x,y,k) =
{\color{green}( 3 , 5 , -2 )},
&amp;(  15 , 58 , -11 ),
&amp;(  35 , 207 , -26 ),
&amp;(  63 , 500 , -47 ),
&amp;(  99 , 985 , -74 ),~...
\end{array}&lt;/math&gt;


===[[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Le grand théorème de Fermat]] ===
==== Une remarque presque anodine ====
&lt;math&gt;n&gt;2\Rightarrow z^n \neq  x^n+y^n&lt;/math&gt; : &quot;« ''Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrième puissance, et généralement une puissance quelconque en deux'' ''puissances de même nom au-dessus de la seconde puissance, est une chose impossible, et j’en ai réellement trouvé l’admirable démonstration. La marge trop exiguë ne la contiendrait pas.'' »

C'était un &quot;simple&quot; commentaire à une question du livre de Diophante. Sa date est inconnue. Mais Fermat n'en reparlera jamais. Aucune allusion pendant les 25 ans d'une correspondance très fournie avec ses contemporains. Plus aucune trace. Un mystère total.

==== Rappels historiques ====
Des investigations historiques déjà été faites par de nombreux spécialistes, comme ''Tannery''&lt;ref&gt;https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf&lt;/ref&gt; , ''Itard''&lt;ref&gt;https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767&lt;/ref&gt;, ''Rashed''&lt;ref name=&quot;:3&quot;&gt;https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html&lt;/ref&gt;'','' ''Goldstein''&lt;ref&gt;https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf&lt;/ref&gt; , ''Bachmakova''&lt;ref&gt;{{Article|prénom1=Isabelle|nom1=Bachmakova|titre=Diophante et Fermat|périodique=Revue d'histoire des sciences et de leurs applications|volume=19|numéro=4|date=1966|issn=0048-7996|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/23905707|consulté le=2026-07-23|pages=289–306}}&lt;/ref&gt;. Mais consulter tous ces remarquables travaux ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la correspondance de Fermat&lt;ref&gt;https://archive.org/details/oeuvresdefermat942ferm&lt;/ref&gt;, ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. On peut retenir les jalons suivants:

* Lettre à ''Domini de Sainte-Croix'' en 1636 ou 1637 : Fermat le met &quot;au défi&quot; de trouver des entiers tels que  &lt;math&gt; z^3 =  x^3+y^3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; z^4 =  x^4+y^4&lt;/math&gt;. Il a donc déjà les cas &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; n=4&lt;/math&gt; de son théorème. Le cas &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt; prend probablement sa source à la question &lt;math&gt; a^3+b^3 =  c^3+d^3&lt;/math&gt; du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube&lt;ref&gt;En effet, on tombe rapidement sur la formule &lt;math&gt;b^3\left(b^3+2a^3\right)^3={\color{green}(a^3+b^3)}\left(b^3-a^3\right)^3 + a^3\left(a^3+2b^3\right)^3&lt;/math&gt;. On n'est pas loin du partage d'une cube! Il suffirait juste de trouver un premier cube &lt;math&gt;\color{green}c^3=a^3+b^3&lt;/math&gt; , qui engendrerait à lui seul une infinité d'autres solutions. Mais ce cube somme de 2 cubes, il n'existe pas.&lt;/ref&gt;. Mais c'est impossible. Fermat en fait l'annonce d'une preuve grâce à sa nouvelle technique révolutionnaire appelée &quot;descente infinie&quot;. Malheureusement il n'en laissera aucuns détails pour ce cas précis&lt;ref&gt;On peut penser que Fermat passe par la voie qu'empruntera Euler. A savoir: la réécriture du problème &lt;math&gt;x^3+y^3=(u+v)^3+(u-v)^3=2uf_3(u^2,v^2)=2u(u^2+3v^2)=z^3&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; impairs et donc &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente. Et la stabilité par multiplication des nombres &lt;math&gt;u^2+3v^2&lt;/math&gt;. Ainsi, en supposant &lt;math&gt;z=a^2+3b^2&lt;/math&gt;, on tombe sur &lt;math&gt;u=a(a+3b)(a-3b)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;v=b(a+b)(a-b)&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;2u&lt;/math&gt; est un cube, donc &lt;math&gt;(2a, a-3b, a+3b)=(r^3,s^3,t^3)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;s^3+t^3=r^3&lt;/math&gt;. Puisque ce sont des diviseurs,  &lt;math&gt;|r|&lt;|u|&lt;|z|&lt;/math&gt;. La descente est amorcée. 

Au passage, &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; pourraient donc éventuellement être négatifs, mais Fermat n'avait pas de problèmes avec les nombres négatifs. Il appelait les nombres positifs les nombres &quot;vrais&quot;, mais ne restait pas bloqué sur les négatifs comme ''Bachet .'' (cf ''Rashed).'' Et contrairement à ce qu'on entend souvent, les grecs anciens comme ''Diophante'' non plus: (cf ''Bachmakova'' )&lt;/ref&gt;. C'était coutume à son époque, où il ne fallait pas trop dévoiler ses secrets. D'ailleurs, dans toute sa correspondance, il n'expliquera qu'une seule fois la démarche, au moment de prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée.&lt;ref&gt;cf Rashed (p321) rappelle que cette explication de la  descente à Frenicle sera reprise et même simplifiée en 1676 dans son &quot;''Traité des Triangles rectangles en nombres, dans lequel Plusieurs belles propriétés de ces Triangles sont démontrées par de nouveaux principes&quot;''  Proposition 39.&lt;/ref&gt; Et c'est ce résultat qui implique directement le cas &lt;math&gt; n=4&lt;/math&gt;. Ainsi, les cas &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; n=4&lt;/math&gt;, s'ils se ressemblent par la forme, sont a priori complètement indépendants. Le grand théorème &lt;math&gt; z^n \neq  x^n+y^n&lt;/math&gt; n'arrive donc pas d'un seul bloc.
* Lettre à ''Frenicle'' en avril 1640 : Fermat se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers&lt;ref&gt;''&quot;Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Arithmétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends  quelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que, si longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle.&quot;''&lt;/ref&gt;
* Lettre à ''Mersenne'' de mai 1640 : il veut vérifier si ''Frenicle'' &quot;ne procède point par tables&quot; en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul.

* Lettre à ''Mersenne'' de juin 1640 : il annonce que &lt;math&gt;2^n-1&lt;/math&gt; n'a que des facteurs premiers en &lt;math&gt;1[2n]&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Pour les &lt;math&gt;2^n -1&lt;/math&gt;, Fermat dit avoir trouvé &lt;math&gt;2^{37}-1=137438953471  =  223\times616318177&lt;/math&gt; en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .&lt;/ref&gt;

* Lettre à  ''Frenicle'' d'aout 1640 : il annonce que &lt;math&gt;\dfrac{2^n+1}{3}&lt;/math&gt; n'a que des facteurs premiers en &lt;math&gt;1[2n]&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;:2&quot;&gt;''&quot;Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini.&quot;''&lt;/ref&gt;

* Lettre à ''Frenicle'' d'octobre 1640 : il a élargi &lt;math&gt;2^n&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;a^n&lt;/math&gt;, et annonce son &quot;petit&quot; théorème pour &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier :  &lt;math&gt;\forall a,~ p| (a^{p-1}-1)&lt;/math&gt;[https://arxiv.org/abs/2502.11165]
* Lettre à ''Mersenne'' en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] :  &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier et congrus à &lt;math&gt;1[4]&lt;/math&gt; est unique somme de 2 carrés&lt;ref&gt;Le théorème est énoncé avant par son contemporain [[w:Albert_Girard#Le_th%C3%A9or%C3%A8me_des_deux_carr%C3%A9s|Albert Girard]] . Mais Il est souvent reporté que Fermat ne le connaissais pas. &lt;/ref&gt;. Mais aussi il étend aux &lt;u&gt;puissances&lt;/u&gt; en précisant que &lt;math&gt;(p^{2k-1}, p^{2k})&lt;/math&gt; ont exactement &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; décompositions différentes en somme de 2 carrés.
Il quasiment certain que Fermat a continué son travail sur les puissances. Notamment que &lt;math&gt;\frac{ x^p+y^p}{x+y}&lt;/math&gt;ne contient que des facteurs premiers congrus à &lt;math&gt;1[2p]&lt;/math&gt; 

==== Fermat et les carrés ====
Fermat hérite des questions de ces prédécesseurs autour des carrés et des cubes. Mais Il marque une vraie rupture par rapport à la tradition diophantienne. Il se focalise sur les nombres entiers, là où les autres cherchent des nombres rationnels. Une fois lancé, il continuera de s'intéresser aux combinaisons linéaires de carrés entiers, avec notamment les familles de nombres premiers de la forme &lt;math&gt;a^2+nb^2&lt;/math&gt;, l'équation &lt;math&gt;x^2-ny^2=1&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;:4&quot;&gt;Des solutions rationnelles de &lt;math&gt;x^2-ny^2=1&lt;/math&gt; sont &lt;math&gt;(x,y)=\left(\dfrac{1+nm^2}{1-nm^2}; \dfrac{2m}{1-nm^2}\right), m \in \Q&lt;/math&gt;. En effet, en remarquant que l'équation se réécrit &lt;math&gt;(x+1)(x-1)=ny^2&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;y=m(x+1)&lt;/math&gt; et on se retrouve avec uniquement du 1er degré sur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Par contre, dans &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, c'est une toute autre affaire! Fermat cherchera et dira avoir trouvé, sans autre précision, qu'il y en existe quel que soit &lt;math&gt;n &lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ... Il a également innové dans les méthodes de résolution de systèmes doubles ou triples d'équations &lt;math&gt;a_ix+b_i=y^2&lt;/math&gt; . Plus généralement, il s'intéresse aux techniques d'élimination, où il publie même un papier&lt;ref&gt;https://fr.wikisource.org/wiki/%C5%92uvres_de_Fermat/I/M%C3%A9thode_d%E2%80%99%C3%A9limination&lt;/ref&gt;. Ces méthodes consiste à supprimer des inconnues, et réduire le degré des équations. On renvoie aux explications d'''Erwan Penchevre''&lt;ref&gt;https://images.math.cnrs.fr/wp-content/uploads/2024/02/penchevre-04-elimination.pdf&lt;/ref&gt;. Enfin, il était expert en carrés magiques. Et même des carrés magiques en 3 dimensions, nommés cubes magiques&lt;ref&gt;{{Lien web|titre=MULTIMAGIE.COM - Le cube magique de Fermat, 1640|url=http://multimagie.com/Francais/Fermat.htm|site=multimagie.com|consulté le=2026-07-08}}&lt;/ref&gt;! 

Bref, il y a beaucoup d'indices pour penser que Fermat avait découvert la forme des carrés  &lt;math&gt;  \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2}  &lt;/math&gt;

En effet, pour &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt;, on  &lt;math&gt;(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2&lt;/math&gt;

Soit en partage &lt;math&gt;x^3=(w+x-w)=w(4w-3x)^2 +(x-w)(x-4w)^2 &lt;/math&gt; 

On peut trouver facilement des solutions aux équations du type  &lt;math&gt;x^3=y^2+k&lt;/math&gt; . 

Soit en substituant &lt;math&gt;w^2&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;, ou plus simplement en prenant &lt;math&gt;w=1&lt;/math&gt; 

Or Fermat a travaillé sur les cubiques &lt;math&gt;x^3=y^2+2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;x^3=y^2+4&lt;/math&gt;, dont la formule atteint immédiatement les solutions &lt;math&gt;(3,5)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\{(2,2),(5,11) \}&lt;/math&gt;. Fermat dira avoir réussi à prouver par descente que ce sont les seules.

==== L'idée de Fermat? ====

Je propose ici une hypothèse pour essayer de résoudre non pas la preuve du théorème, mais le mystère autour de cette preuve. Voici donc comment Pierre de Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème, cet éclair &quot;merveilleux&quot; qui semble avoir surgi et dont on ressent la puissance lorsqu'on lit la note du Diophante.

Considérons un entier &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; quelconque tel que &lt;math&gt;w &lt; x&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;w &lt; y&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un premier supérieur ou égal à 5     

Dans &lt;math&gt;z^p=x^p+y^p&lt;/math&gt;, Substituons &lt;math&gt;(w+x',w+y',w+z')&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;(x,y,z)&lt;/math&gt;.

Cela donne:

&lt;math&gt;(w+z')^p=(w+x')^p+(w+y')^p&lt;/math&gt;     

Avec la formule des carrés, cela devient: 

&lt;math&gt;w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;(a,b,c,d,e,f)&lt;/math&gt;  des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à &lt;math&gt;\pm1 [2n]&lt;/math&gt;,

qu'on peut réduire en: 

&lt;math&gt;w\cdot e^2+z'\cdot f^2 =  w\cdot(a^2+c^2)+x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2&lt;/math&gt;     

Ainsi tous les &lt;math&gt;(a,b,c,d,e,f)&lt;/math&gt; ont des facteurs premiers supérieurs à &lt;math&gt;2p-1&lt;/math&gt;, par conséquent '''strictement''' '''supérieurs à 3 et à 5'''.    

Maintenant (et c'est là que c'est un peu fort de café&lt;ref&gt;Si tant est qu'un mathématicien est &quot;une machine à transformer le café en théorèmes&quot; d'après Paul Erdős&lt;/ref&gt;), par &lt;u&gt;identification sur&lt;/u&gt; &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;, on a  &lt;math&gt;e^2=a^2+c^2&lt;/math&gt; . 

D'où une '''contradiction'''! Car on sait que dans les triplets pythagoriciens  &lt;math&gt;r^2=s^2+t^2&lt;/math&gt;, '''3 et 5 divisent forcément le produit''' &lt;math&gt;rst&lt;/math&gt;  

Certes c'est une affirmation hasardeuse. Car de quel droit identifier sur &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; ? Mais sachant que ça s'écrit pour n'importe quel &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;, l'idée n'est-elle pas séduisante? Peut-on construire un système d'équations? Existe-t-il un certain &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; qui fonctionne&lt;ref&gt;Une première idée serait qu'avec &lt;math&gt;wx+b=wy+c &lt;/math&gt;, si on a &lt;math&gt;b&lt;w&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;c&lt;w&lt;/math&gt;, alors là on peut identifier  &lt;math&gt;x=y&lt;/math&gt;. Pour cela, il faudrait &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; grand, éventuellement en considérant la limite à l'infini? Mais cela ne semble pas fonctionner, car les carrés sont toujours plus grand que les &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Une seconde idée serait de prendre &lt;math&gt;w \in \C&lt;/math&gt; . Pour &lt;math&gt;n=5&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x^5=w(16w^2+5x^2-20wx )^2+(x-w)(16w^2+x^2-12wx)^2&lt;/math&gt;Le premier carré donne une valeur réelle pour &lt;math&gt;w=5x/8+b i, b \in \R&lt;/math&gt; et le deuxième carré pour &lt;math&gt;w=3x/8+b i, b \in \R&lt;/math&gt;. Il n'y a donc pas de recouvrement possible. De plus, cette valeur est commune et vaut &lt;math&gt;-5x^2/4-16b^2&lt;/math&gt;. Qui n'a aucune propriété concernant les facteurs premiers en &lt;math&gt;\pm1 [10]&lt;/math&gt; .  ça ne fonctionne pas&lt;/ref&gt;? Et si Fermat était passé par cette voie si tentante? 

==== Plausibilité historique ====

Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez intéressante du point de vue historique :

- Si ça &quot;fonctionne&quot; pour &lt;math&gt;p \ge 5&lt;/math&gt; , cela ne s'applique pas aux cas &lt;math&gt;n =4&lt;/math&gt; car il faut que &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; soit premier impair. Et pour le cas &lt;math&gt;p =3&lt;/math&gt; , la formule des carrés engendre des facteurs premiers en &lt;math&gt;\pm1 [6]&lt;/math&gt;. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre technique. En l’occurrence la nouvelle descente infinie inventée par Fermat lui-même! Les cas &lt;math&gt;n =3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n =4&lt;/math&gt; restent particuliers. C'étaient les premiers prouvées par Fermat, et il ne se font pas englobés. Chronologiquement, ça se tient.

- C'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela &quot;admirable&quot;. Et il n'y pas de différenciation de cas  &lt;math&gt;p\mid xyz&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;p \nmid xyz&lt;/math&gt; 

- Avec du recul, Fermat a pu se dire que finalement ça ne marcherait pas. C'est l'hypothèse de l'historien ''Jean Itard,'' afin de justifier que Fermat ne citera plus jamais le cas général à ses correspondants. J'en doute car il était honnête homme. Il n'aurait pas laissé la remarque dans le Diophante. Alors n'était-ce juste simplement pas important? Rappelons que le bébé de Fermat, c'est la descente infinie. On le voit bien dans ses lettres. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à ''Wallis'', ''Digby'', ou ''Carcavi'', il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres sont presque laissé au second plan.

- La descente infinie est très compliquée pour &lt;math&gt;n = 5&lt;/math&gt;. Fermat n'a pas pu y arriver, Dirichlet et Legendre en venant à bout en 1825&lt;ref&gt;En appliquant la même technique que pour le cas &lt;math&gt;n=3&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;(u+v)^5+(u-v)^5=2u\left( (u^2+5v^2)^2-5(2v^2)^2 \right) &lt;/math&gt;. L'accroche ici est qu'on retrouve une forme &lt;math&gt;X^2-5Y^2&lt;/math&gt; , stable par multiplication. Ç’aurait pu interpeler Fermat, c'est comme &lt;math&gt;X^2+3Y^2&lt;/math&gt; dans le cas &lt;math&gt;n=3&lt;/math&gt;. Malheureusement ça ne marche plus aussi simplement car on n'obtient pas une expression factorisée de &lt;math&gt;2u&lt;/math&gt;. Voir la démonstration de ''Dirichlet/Legendre'' pour constater les nombreuses difficultés à surmonter.&lt;/ref&gt;. Pire, la technique devient inopérante pour les exposants supérieurs&lt;ref name=&quot;:5&quot;&gt;''Yves Hellegouarch'' dans son livre &quot;''Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles''&quot;, écrit page 38: &quot;''On peut penser que pour les exposants''  ''premiers impairs, Fermat associait à son équation la forme quadratique'' &lt;math&gt;X^2+(-1)^{(p+1)/2}pY^2&lt;/math&gt; . C'est un résultat juste. Mais peut-être anachronique. En effet, cf [https://math.stackexchange.com/questions/5144009/fermat-hellegouarch-sum-of-powers-quadratic-forms maths.stackechange]  pour les calculs qui s'avèrent être fastidieux.&lt;/ref&gt;. Or on sait que Fermat a toujours été suffisamment honnête pour avouer à ses correspondants qu'il n'arrivait pas (encore) à démontrer un résultat. Or Jamais il ne fera mention d'un essai pour des puissances supérieures. Non. Ici avec la formule des carrés, il n'y a pas besoin de descente infinie!

==== Objection? ====
Malheureusement un tout autre scenario est envisageable. Dans l'hypothèse précédente, il faut supposer que Fermat a écrit son commentaire bien après sa première lecture de la question de Diophante. Ou qu'il l'a écrit pour les cas &lt;math&gt;n =3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n =4&lt;/math&gt; , puis qu'il a complété son commentaire une fois son travail sur les puissances effectué. Qu'il y serait donc revenu quelques années après. Ça paraît étrange.

Car vu le ton employé, on peut aussi avoir l'impression que cela est venu d'un bloc, avec toutes les puissances sans distinction de cas, sans séparation entre les cas &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt;, ou &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; premier. Autrement dit, on peut supposer qu'il sait immédiatement, en s'appuyant sur des travaux antérieurs&lt;ref&gt;Fermat a déjà fait énormément de mathématiques avant de s'attaquer à l'arithmétique. D'ailleurs dans sa première lettre à Mersen en 1936, il dit: &quot;''Je serai aussi bien aise d'apprendre par votre moyen tous les Traités ou Livres nouveaux de Mathématiques qui ont paru depuis cinq ou six ans.''&quot; Comme s'il avait dû faire une pause de quelques années. On imagine à cause de son métier très prenant.&lt;/ref&gt;, que le problème est impossible dans &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; , puisque c'est implicite chez Diophante: on cherche comment diviser un carré en somme de 2 carrés '''&lt;u&gt;rationnels&lt;/u&gt;'''. Ainsi Fermat affirmerait haut et fort dans son commentaire que  &lt;math&gt;x^n+y^n=z^n&lt;/math&gt; n'a pas de solution dans &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt;.&lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt;. Ce qui fatalement rend le problème impossible dans &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ! Ce serait ensuite que Fermat essaie de le montrer dans &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, avec des raisonnements spécifiques aux nombres entiers, comme la descente infinie. Il le dit dans ses lettres. Il a eu beaucoup de difficulté à appliquer la technique pour le cas &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt;. Mais il s'est accroché et ça n'était pas pour rien. Car il savait que le résultat était vrai. 

La factorisation &quot;maximale&quot; dans &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;(x+y)^p-(x^p+y^p)=pxy(x+y)(x^2+xy+y^2)^kQ(x,y)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;k=1 \text{ pour } p\equiv -1[6], k=2 \text{ pour } p\equiv 1[6]&lt;/math&gt; . Fermat aurait pu arriver à ce résultat. Et si &lt;math&gt;x^p+y^p=z^p&lt;/math&gt;, alors on se retrouve à gauche avec une différence de puissance, donc à droite obligatoirement des facteurs premiers en &lt;math&gt;1[2p]&lt;/math&gt; sur&lt;math&gt;Q(x,y)&lt;/math&gt;. Mais il n'y a plus de régularité sur les  &lt;math&gt;Q(x,y)&lt;/math&gt;. Leur expression devient imprédictible au fur et à mesure que l'exposant grandit.    

== '''Postface''' ==
Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du  [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai&lt;ref&gt;il existe des suites des couples  &lt;math&gt;(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;  dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour &lt;math&gt;n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 &lt;/math&gt; cf &quot;[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?&quot;]&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;La suite de Perrin &lt;math&gt;(P_n)&lt;/math&gt; est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est  &quot;si ''n'' divise &lt;math&gt;P_n&lt;/math&gt; alors ''n'' est un nombre premier&quot;. le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour &lt;math&gt;n=271441=521^2&lt;/math&gt; . Le nombre &lt;math&gt;P_{271441}&lt;/math&gt; a 33150 chiffres!!&lt;/ref&gt;! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés&lt;ref name=&quot;:1&quot;&gt;{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}&lt;/ref&gt;. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés&lt;ref&gt;&lt;math&gt;h&lt;/math&gt; l’hypoténuse et &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; un côté. L'astuce revient à poser &lt;math&gt;h^2=c^2+(h-\alpha c)^2&lt;/math&gt; afin que les &lt;math&gt;h^2&lt;/math&gt; disparaissent. Ici &lt;math&gt;\alpha \in \mathbb{Q}&lt;/math&gt; un paramètre. Ce qui donne après développement &lt;math&gt;c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h&lt;/math&gt; . Et l'autre côté &lt;math&gt;\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h&lt;/math&gt; . Ici il faut &lt;math&gt;\alpha &gt; 1&lt;/math&gt; pour rester avec des valeurs &quot;positives&quot; et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse &lt;math&gt;\alpha \rightarrow \alpha^{-1}&lt;/math&gt; qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant &lt;math&gt;\alpha \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, on obtient une infinité de solutions.&lt;/ref&gt;. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''&quot;aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''&quot;. Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique&lt;ref&gt;La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant &lt;math&gt;h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 &lt;/math&gt;, on arrive à &lt;math&gt;(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0&lt;/math&gt; . Soit un polynôme du second degré en &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)&lt;/math&gt; .  Avec &lt;math&gt;\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}&lt;/math&gt;, on arrive à &lt;math&gt;\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)&lt;/math&gt; . Or l'équation diophantienne &lt;math&gt;3p(4q^3-p ^3)=d^2&lt;/math&gt; est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!&lt;/ref&gt; ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue &quot;''marge trop petite''&quot; est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes&lt;ref&gt;{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}&lt;/ref&gt;? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}&lt;/ref&gt;? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve&lt;ref&gt;lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&amp;oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}&lt;/ref&gt;. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant &quot;''toutes les puissances''&quot;&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;Fermat est en en fait &quot;tombé&quot; sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, &quot;&lt;math&gt;x^p+y^p=z^p&lt;/math&gt; ''sans solution pour''  &lt;math&gt;p&gt;2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(x,y,z) \in \mathbb{N}^3&lt;/math&gt;&quot;, n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,&quot;(''Tidjman et Zagier'') : &lt;math&gt;x^p+y^q=z^r&lt;/math&gt;''sans solution pour'' &lt;math&gt;(p,q,r)&lt;/math&gt; ''&lt;u&gt;tous supérieur à 2&lt;/u&gt; et &lt;math&gt;(x,y,z) \in \mathbb{N}^3&lt;/math&gt; premiers entre eux.&quot;.'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''&lt;u&gt;aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré&lt;/u&gt;''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.&lt;/ref&gt;? . On rappelle qu'il n'y avait point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Lui qui se disait le plus paresseux des hommes. Mais il les dévoilait peu dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps.

Ici nous avons essayé de reprendre Fermat &quot;au mot&quot;. Que signifie &quot;''partager une puissance''&quot;? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat.


== '''Remerciements''' ==
Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations)

Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ScratchingTheSurface , Thomas Andrews et Mastrem pour les démonstrations)

Merci à Yohann C. pour son aide et ses relectures

Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE]

Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres

Merci à Wikiversité


----&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --&gt;</text>
      <sha1>lgfuzwdbod7l5t0d3cqkwufqcw2vmxd</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>985725</id>
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      <timestamp>2026-08-12T15:55:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alain.fabo</username>
        <id>73895</id>
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      <comment>/* Propriétés algébriques */ correction des titres</comment>
      <origin>985725</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="64620" sha1="3pacadob0xgu91e2i9fpuqov135blgf" xml:space="preserve">&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --&gt;
On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : &lt;math&gt;(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}&lt;/math&gt;.

== '''Résumé''' ==
Cet article présente, pour &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; &lt;u&gt;un entier positif impair&lt;/u&gt;, la remarquable forme &lt;math&gt;  \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2}  &lt;/math&gt;. Son &lt;u&gt;existence&lt;/u&gt; se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en &lt;math&gt;(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b &lt;/math&gt;. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients &lt;math&gt; (a,b,c,d)&lt;/math&gt;, nous étudions quelques propriétés dans &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;. D'abord, avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que &lt;math&gt;(a,b) &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(c,d) &lt;/math&gt; sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a &lt;u&gt;unicité&lt;/u&gt; des &lt;math&gt; (c,d)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;x+y=p&lt;/math&gt;  &lt;u&gt;premier&lt;/u&gt;. Enfin, si l'&lt;u&gt;exposant n est premier&lt;/u&gt;, alors les &lt;u&gt;facteurs premiers&lt;/u&gt; de &lt;math&gt; (a,b)&lt;/math&gt; sont congrus à &lt;math&gt; 1[2n]&lt;/math&gt; , et ceux de &lt;math&gt; (c,d)&lt;/math&gt; à '''&lt;math&gt; \pm 1[2n]&lt;/math&gt;'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'&lt;u&gt;exposant n pair&lt;/u&gt;, où nous trouvons que pour &lt;math&gt;x+y=p&lt;/math&gt; &lt;u&gt;premier&lt;/u&gt;, la forme&lt;math&gt;  (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2  &lt;/math&gt; existe seulement pour &lt;math&gt; x=1 &lt;/math&gt; ou &lt;math&gt; y=1 &lt;/math&gt;. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème.

== '''Introduction''' ==
Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme &lt;math&gt;  (x+y) ^n &lt;/math&gt;, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''&lt;math&gt; (x,y)&lt;/math&gt;''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que &lt;math&gt;  (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 &lt;/math&gt; .

Ces expressions utilisent les mêmes fonctions &lt;math&gt;f_n(x,y)&lt;/math&gt; suivantes :
{{définition|contenu=
&lt;math&gt;
\begin{array}{ll}
n=2m+1 \\
&amp;f_n(x,y) &amp;=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\
&amp;&amp;=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k
\end{array}
&lt;/math&gt;}}'''Exemple''':

&lt;math&gt;\quad 
\begin{array}{lll}
f_3(x,y)=x+3y \\
f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\
f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\
f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\
\end{array}
&lt;/math&gt;

== '''Propriétés algébriques''' ==
Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif

=== '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' ===
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; 
 (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1)
&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme :

&lt;math&gt;
(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k
= \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1}
&lt;/math&gt;

soit
&lt;math&gt;
(x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k}
&lt;/math&gt;

En posant
&lt;math&gt; 
k'=m-k
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'}
&lt;/math&gt;


D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}}

=== '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' ===
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt;
(x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés}
&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : 
&lt;math&gt;
(x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2)
&lt;/math&gt;

En prenant &lt;math&gt;-y&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;
(x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2)
&lt;/math&gt;

En multipliant les deux dernières expressions :
&lt;math&gt;
(x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2
&lt;/math&gt;

D'où la formule en substituant &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;(x^2,y^2)&lt;/math&gt;}}'''Exemples''' 

&lt;math&gt;\begin{array}{l}
(x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\
(x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\
\\
(x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\
(x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 
\end{array}&lt;/math&gt;

=== '''xⁿ+yⁿ''' ===
{{Propriété|titre=Propriétés|contenu=&lt;math&gt;\quad 
\begin{array}{rll}
(x+y)^n+(x-y)^n&amp;=2xf_n(x^2,y^2)&amp;\quad(3)\\
\\
\dfrac{x^n+y^n}{x+y}&amp;= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &amp;\quad(3bis)\\
\\
f_n(x^2,y^2)&amp;=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&amp;\quad(4) \\
\end{array}
&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1)

(3bis) : Par changement de variable &lt;math&gt;(x+y,x-y)=(u,v) &lt;/math&gt; soit  &lt;math&gt;(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)&lt;/math&gt;

Ensuite la définition donne la propriété &lt;math&gt;f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m&lt;/math&gt;

Soit ici avec des carrés &lt;math&gt;f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}&lt;/math&gt;

(4) : En identifiant avec l'identité remarquable
&lt;math&gt;u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j&lt;/math&gt;|titre=Démonstration}} 

=== '''xᵖ+yᵖ''' ===
On pourra rappeler ici le résultat de Gauss qui relie la somme de puissance, et donc &lt;math&gt;f_p(x^2,y^2)&lt;/math&gt; 

 avec les formes quadratiques:
{{Propriété|titre=Théorème|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier, &lt;math&gt;\quad 
\dfrac{x^p+y^p}{x+y}=X^2 + (-1)^{\frac{p+1}2} pY^2 \quad \quad \text{: formule de Gauss}
&lt;/math&gt;

Ce qui est équivalent : &lt;math&gt;f_p(u^2,v^2)=\dfrac{(u+v)^p+(u-v)^p}{2u}=\left( X^2+(-1)^{\frac{p+1}2}pY^2 \right) &lt;/math&gt;}}

Le calcul des carrés n'est pas simple&lt;ref name=&quot;:5&quot; /&gt;.C'est plus simple en faisant un changement de variable

'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{llll}
(u+v)^3+(u-v)^3&amp;=2u\left( X^2+3Y^2 \right)&amp; \quad X,Y=u,v\\
(u+v)^5+(u-v)^5&amp;=2u\left( X^2-5Y^2 \right)&amp; \quad X,Y=u^2+5v^2, 2v^2 \\
(u+v)^7+(u-v)^7&amp;= 2u\left(X^2 + 7Y^2\right)&amp; \quad X,Y=u(u^2 + 7 v^2), v(u^2 - v^2)\\
(u + v)^{11} + (u - v)^{11} &amp;= 2 u (X^2+11Y^2)&amp; \quad X,Y=u(u^4 - 22 u^2 v^2 - 11 v^4), v(3 u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4)
\end{array}&lt;/math&gt;


Nous pouvons observer la régularité suivante:

{{Propriété|titre=Proposition|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier,  &lt;math&gt;\dfrac{(u+v)^p+(u-v)^p}{2u}=\left( X^2+(-1)^{\frac{p+1}2}pY^2 \right) &lt;/math&gt;

Alors &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; divise toujours &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; divise X pour &lt;math&gt;p=3[4]&lt;/math&gt;}}

Par contre, contrairement aux formules (1) et (2), nous n'avons pas trouvé de régularité sur les facteurs premiers des X ou des Y.

C'est ce que nous allons voir dans le chapitre suivant en étudiant les propriétés dans &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;

=== '''(x+y)ᵖ-(xᵖ+yᵖ)''' ===
Afin d'être complet, nous rappelons aussi la factorisation de &lt;math&gt;(x+y)^p-(x^p+y^p), p\in \mathbb{P}&lt;/math&gt;
{{Propriété|titre=Théorème|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier plus grand que 5:

&lt;math&gt;(x+y)^p-(x^p+y^p)=pxy(x+y)(x^2+xy+y^2)^kQ(x,y) &lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;k=1&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;p \equiv -1[6]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k=2&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;p \equiv 1[6]&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=La divisibilité par p vient du petit théorème de Fermat. 

Celle par xy en factorisant le binôme. 

Celle par x+y vient de la factorisation de &lt;math&gt;x^p+y^p&lt;/math&gt; par  &lt;math&gt;x+y&lt;/math&gt;.

Celle par &lt;math&gt;x^2+xy+y^2&lt;/math&gt; vient en prenant y=1. On obtient alors le polynôme &lt;math&gt;X^2+X+1&lt;/math&gt; qui a pour racine &lt;math&gt;w=e^{2i\pi /3}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;w^2&lt;/math&gt;. Et qui donne donc la relation &lt;math&gt;1+w=-w^2&lt;/math&gt;
On vérifie que ces racines ce sont aussi celles de &lt;math&gt;(X+1)^p-(X^p+1)&lt;/math&gt;.

Pour la multiplicité k, on vérifie sur &lt;math&gt;P'(X)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; P''(X)&lt;/math&gt;}}'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
(x+y)^3-(x^3+y^3)&amp;= 3x y (x + y)\\
(x+y)^5-(x^5+y^5)&amp;= 5x y (x + y) (x^2 + x y + y^2)\\
(x+y)^7-(x^7+y^7)&amp;=7xy (x + y) (x^2 + x y + y^2)^2 \\
(x+y)^{11}-(x^{11}+y^{11})&amp;=11xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})&amp;(x^{6} + 3 x^{5}  y + 7 x^{4} y^{2} + 9 x^{3} y^{3} + \text{symétrique}) \\
(x+y)^{13}-(x^{13}+y^{13})&amp;=13xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})^{2}&amp; (x^{6} + 3  x^{5}  y + 8  x^{4}  y^{2} + 11  x^{3}  y^{3} +\text{sym})\\
(x+y)^{17}-(x^{17}+y^{17})&amp;=17xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2}) &amp; (x^{12} + 6  x^{11}  y + 26  x^{10}  y^{2} + 75  x^{9}  y^{3} + 156  x^{8}  y^{4} + 240  x^{7}  y^{5} + 277  x^{6}  y^{6} + \text{sym} )\\
(x+y)^{19}-(x^{19}+y^{19})&amp;=19xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})^{2}&amp; (x^{12} + 6  x^{11}  y + 28  x^{10}  y^{2} + 85  x^{9}  y^{3} + 184  x^{8} y^{4} + 292  x^{7}  y^{5} + 341  x^{6}  y^{6} + \text{sym})\\
...
\end{array}&lt;/math&gt;

== '''Propriétés dans ℤ''' ==
On supposera dans la suite &lt;math&gt;(u,v) \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; copremiers

=== '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' ===
La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers

'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
17^3&amp;= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &amp;+ 12\times 3^2&amp;=5\times (31)^2 &amp;+ 12\times (3)^2\\
17^5&amp;= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &amp;+ 12\times 331^2&amp;=5\times (5\cdot29)^2 &amp;+ 12\times (331)^2\\
17^7&amp;= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&amp;+ 12\times 3767^2&amp;=5\times (6929)^2&amp;+ 12\times (3767)^2\\
17^9&amp;=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&amp;+ 12\times 42921^2 &amp;=5\times (31\cdot4481)^2&amp;+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\
...
\end{array}&lt;/math&gt;

Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre 

=== Parité et 2-valuation ===
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u, v)&lt;/math&gt; de parité différente &lt;math&gt; \Rightarrow f_n(u,v)&lt;/math&gt; impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; de parité différente:

Par définition &lt;math&gt;f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)&lt;/math&gt; . 
n étant impair, alors &lt;math&gt;f_n(u,v)&lt;/math&gt; est impair|titre=Démonstration}}
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u, v)&lt;/math&gt; impairs ou de parité différente, alors &lt;math&gt; \dfrac{u^n+v^n}{u+v}&lt;/math&gt;  impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; de parité différente, on a un quotient de 2 impairs

si  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; impairs,&lt;math&gt; (u,v)=(a+b,a-b)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; de parité différente. 

Or (3) donne  &lt;math&gt;\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)&lt;/math&gt;, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}}
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u, v)&lt;/math&gt; impairs&lt;math&gt; \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt;  impairs, on peut toujours changer de variable:  

&lt;math&gt;(u,v)=(x+y,x-y) &lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; de parité différente. 

D'après (4bis), &lt;math&gt;f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j&lt;/math&gt;

Or &lt;math&gt;\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)&lt;/math&gt; est impair avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; de parité différente


Ce qui implique que &lt;math&gt; f_n(u^2,v^2)&lt;/math&gt;  a nécessairement une 2-valuation de &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;|titre=Démonstration}}
=== '''Coprimalité''' ===
Nous considérerons dans la suite &lt;math&gt;(u,v) &lt;/math&gt; copremiers &lt;u&gt;de parité différente&lt;/u&gt;{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente
&lt;math&gt;
 \Rightarrow\begin{cases}
f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &amp;(5) \\
n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &amp;(6)\\
\end{cases}
&lt;/math&gt;|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si &lt;math&gt;u,v &lt;/math&gt; de parités différentes alors &lt;math&gt;f(v,u) &lt;/math&gt; sont impairs.   

Considérons &lt;math&gt;p &lt;/math&gt; un diviseur premier impair commun. On a donc &lt;math&gt;f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv  0 ~[p] &lt;/math&gt; . La forme  (2) implique &lt;math&gt;u \equiv v ~[p] &lt;/math&gt;

En réinjectant dans la définition de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, on obtient: 

&lt;math&gt;f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m  (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] &lt;/math&gt;

Par conséquent &lt;math&gt;f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] &lt;/math&gt;. Même résultat pour &lt;math&gt;v &lt;/math&gt;.

Ainsi tout diviseur premier commun à  &lt;math&gt;f(u,v) &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f(v,u) &lt;/math&gt; divise aussi &lt;math&gt;u &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;v &lt;/math&gt;.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' &lt;math&gt;f(u,v)=nv^m +uP(u,v) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;P &lt;/math&gt; un polynôme .

Avec &lt;math&gt; u \wedge nv^m =1 &lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt; u \wedge f(u,v)=1 &lt;/math&gt;, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|&lt;math&gt;f_n(u,v)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f_n(u^2,v^2)&lt;/math&gt; ne sont pas forcément premiers entre eux!

&lt;math&gt;
\begin{array}{ll}
f_{11}(29,18)&amp;=  6117463571&amp;= 23 \times 109 \times 2440153\\
f_{11}(29^2,18^2)&amp;=42623439661994533 &amp;= 23 \times 67 \times 27659597444513
\end{array}
&lt;/math&gt;}}


=== '''Puissance n première''' ===
Ici on considérera &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; &lt;u&gt;premier impair&lt;/u&gt;

==== n-valuation  ====
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; n&lt;/math&gt; premier impair, &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente.

&lt;math&gt;
\Rightarrow
\begin{cases}
n\nmid u \Rightarrow n\nmid  f_n(u,v) \\
n\mid   u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &amp;(7)
\end{cases}
&lt;/math&gt;|titre=Proposition}}'''Exemples''':

&lt;math&gt;\begin{array}{l}
(u,v)= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\
f_{3} (u,v)=23\times 1867 \\
f_{\color{red}5}  (u,v)= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\
f_{\color{green}7}  (u,v)= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\
f_{11} (u,v)=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019
\end{array}&lt;/math&gt;{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est premier, &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; divise tous les coefficients binomiaux.

Si &lt;math&gt;n \ge 5&lt;/math&gt; , on peut écrire  &lt;math&gt;\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;P &lt;/math&gt; polynôme.|titre=Démonstration}}


==== Facteurs premiers modulo 2n ====
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; n&lt;/math&gt; premier impair, &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente, &lt;math&gt;n\nmid u&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
f_n(u,v)&amp;=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&amp;(8) \\ 
f_n(u^2,v)&amp;=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&amp;(9) \\ f_n(u^2,v^2)&amp;=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &amp;(10)
\end{cases}
&lt;/math&gt;|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}&lt;/ref&gt; : &quot;''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn&quot;'' 

En résumé, d'après (3bis) : &lt;math&gt;2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) &lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;p \neq n&lt;/math&gt; un diviseur premier impair de &lt;math&gt;\dfrac{x^n+y^n}{x+y}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x^n+y^n \equiv 0[p]&lt;/math&gt;   donne    &lt;math&gt;\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]&lt;/math&gt;,      soit &lt;math&gt;\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]&lt;/math&gt;

D'après le petit théorème de Fermat &lt;math&gt;\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]&lt;/math&gt;

Donc  &lt;math&gt;p-1\mid 2n&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;p \equiv 1 [2n]&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}&lt;/ref&gt; : &quot;''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''&quot;

L'idée est d'utiliser la relation sous la forme:

&lt;math&gt;
(\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x)
&lt;/math&gt; et de travailler dans &lt;math&gt;\mathbb{Z/n^2 Z}&lt;/math&gt;}}

==== Exemples ====
&lt;math&gt;f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]&lt;/math&gt; : Les facteurs premiers tous congrus à &lt;math&gt;\pm 1[2n]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
f_{ 5 }( 6 , 11 ) &amp;=1301 &amp;\equiv1&amp;[ 10 ] \\
f_{ 7 }( 6 , 11 ) &amp;=181\times239 &amp;\equiv-1\times1 &amp;[ 14 ] \\ 
f_{ 11 }( 6 , 11 ) &amp;=47820079 &amp;\equiv1&amp;[ 22 ] \\
f_{ 13 }( 6 , 11 ) &amp;=8969\times177269 &amp;\equiv-1\times1 &amp;[ 26 ] \\ 
f_{ 19 }( 6 , 11 ) &amp;=151\times386989747169 &amp;\equiv-1\times-1 &amp;[ 38 ] \\ 
f_{ 23 }( 6 , 11 ) &amp;=5278223\times12238317893 &amp;\equiv-1\times-1 &amp;[ 46 ] \\ 
f_{ 29 }( 6 , 11 ) &amp;=233\times521\times1309699\times14932891583 &amp;\equiv1\times-1\times1\times-1 &amp;[ 58 ] \\
...
\end{array}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;f_n(u^2,v)\equiv  1[2n]&lt;/math&gt; : Le nombre de facteurs en &lt;math&gt;-1[2n]&lt;/math&gt; est pair.

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=5861 &amp;\equiv1&amp;[ 10 ] \\
f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=507809 &amp;\equiv1&amp;[ 14 ] \\
f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=89\times6029\times7129 &amp;\equiv1\times1\times1 &amp;[ 22 ] \\ 
f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=883\times2341\times160627 &amp;\equiv-1\times1\times-1 &amp;[ 26 ] \\ 
f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=67\times187067\times199591969 &amp;\equiv-1\times-1\times1 &amp;[ 34 ] \\ 
f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &amp;=229\times683\times1901\times2963\times246469 &amp;\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &amp;[ 38 ] \\ 
f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&amp;=367 \times 4457595074737380607  &amp;\equiv-1\times-1 &amp;[ 46 ] \\ 
f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&amp;=1069838719517673460520580221 &amp;\equiv1&amp;[ 58 ] \\
...
\end{array} 
&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;f_n(u^2,v^2)\equiv  1[2n] &lt;/math&gt; : Les facteurs premiers tous congrus à &lt;math&gt;1[2n]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{lll} 
f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 118061 &amp;\equiv1&amp;[ 10 ] \\
f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 34188379 &amp;\equiv1&amp;[ 14 ] \\
f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 23\times89\times2377\times586961 &amp;\equiv1\times1\times1\times1 &amp;[ 22 ] \\ 
f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 30187\times27342279823 &amp;\equiv1\times1 &amp;[ 26 ] \\ 
f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 2129\times3079\times3039225397425209 &amp;\equiv1\times1\times1 &amp;[ 38 ] \\ 
f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;=1663964075070633572800332299&amp;\equiv1&amp;[ 46 ]  \\
f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;=59\times11250493\times60508154689065340703592763&amp;\equiv1\times1\times1 &amp;[ 58 ]  \\
...
\end{array}
&lt;/math&gt;

=== Unicité ===

==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ====
Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles  &lt;math&gt;(u+v)^n=u.a+v.b &lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;(u,v) &lt;/math&gt; premiers entre eux de parité différente, et &lt;math&gt; (a,b)&lt;/math&gt; n'ayant que des facteurs premiers en '''&lt;math&gt;1[2n] &lt;/math&gt;'''. Nous considérons aussi le cas  &lt;math&gt;n|u&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;v_n(a)=2&lt;/math&gt;. 

L'exemple '''&lt;math&gt;z=7^5 &lt;/math&gt;''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie:  

{{Exemple déroulant|contenu=&lt;math&gt; 
\begin{array}{lll}  
7^5&amp;= 1 \times( 61 )&amp;+ 6 \times( 2791)\\
&amp;= 1 \times( 241 )&amp;+ 6 \times( 11\times251)\\

&amp;...\\
&amp;= 1 \times( 6481 )&amp;+ 6 \times( 1721)\\
&amp;= 3 \times( 31\times71 )&amp;+ 4 \times( 2551)\\
        &amp; =\color{blue}1\times  (6841) &amp;+\color{blue}6\times(11\times151)\\ 
&amp;= 3\times(2441) &amp;+ 4\times(2371)\\
&amp;= 1\times(11\times11\times61) &amp;+ 6\times(1571)\\
&amp;...\\
&amp;= 1\times(8161) &amp;+ 6\times(11\times131)\\
&amp;= 3\times(11\times251) &amp;+ 4\times(2131)\\
&amp;              =\color{red}   3\times(2801) &amp;+ \color{red}  4\times(11\times191)\\

&amp;= 1\times (8521) &amp;+ 6\times(1381)\\
 &amp;\color{green}            = 5\times(5\times11\times31) &amp;+ \color{green}2\times(41\times101)\\
&amp;= 1\times(8641) &amp;+ 6\times(1361)\\
&amp;... \\
&amp;= 5 \times( 5\times401 )&amp;+ 2 \times( 3391)\\
&amp;= 5 \times( 5\times521 )&amp;+ 2 \times( 31\times61)\\
&amp;... \\
&amp;=1 \times (16741) &amp;+ 6 \times( 11)
\end{array}
&lt;/math&gt;|titre=Exemple des 114 occurrences pour &lt;math&gt;7^5&lt;/math&gt;}}

Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint &quot;uniquement&quot; :

&lt;math&gt;\begin{array}{lll} 
7^5&amp;=\color{blue}1\times (6841)&amp;+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\
&amp;=\color{red}3 \times (2801)&amp;+ \color{red}4\times (11 \times  191)\\
&amp;=\color{green}5 \times (5\times  11\times  31)&amp;+\color{green}2\times (41\times  101) \\
\end{array} &lt;/math&gt;

Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en &lt;math&gt;\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{green}5a+2b&lt;/math&gt;

'''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? 


'''Remarque''': 

Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des  '''&lt;math&gt;-1[2n] &lt;/math&gt;'''. 

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
7^5&amp;=1 \times (11^2)^2&amp;+ 6\times (19)^2\\
&amp;=3 \times (31\times19)^2&amp;+ 4\times (59)^2\\
&amp;=5 \times (5\times  11)^2&amp;+2\times (29)^2 \\
\end{array} &lt;/math&gt;

Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''&lt;math&gt;1[2n] &lt;/math&gt;'''.Par exemple:

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
9^5&amp;=1 \times (241)^2&amp;+ 8\times (11)^2\\
15^5&amp;=7 \times (191)^2&amp;+ 8\times (251)^2\\\\
\end{array} &lt;/math&gt;

==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ====
Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique

{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier impair.
Alors pour tout couple &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; d'entiers strictement positifs tels que &lt;math&gt;p=u+v&lt;/math&gt; et pour tout entier impair &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; il existe un unique couple &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que &lt;math&gt;p^n=uc^2+vd^2&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: 
&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}&lt;/ref&gt;


Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths:

Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que &lt;math&gt; p=a+b&lt;/math&gt; . On suppose &lt;math&gt;p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;u,v&lt;/math&gt; premiers entre eux ainsi que &lt;math&gt;x,y&lt;/math&gt;.
En combinant les égalités on obtient &lt;math&gt;p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;p^n&lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;(uy-vx)(uy+vx)&lt;/math&gt;.

On montre assez facilement que &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ne peut pas diviser simultanément &lt;math&gt;uy-vx&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;uy+vx&lt;/math&gt; et on en déduit que &lt;math&gt;p^n&lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;uy-\varepsilon vx&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\varepsilon=\pm1&lt;/math&gt;.

Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de &lt;math&gt;p^n&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2&lt;/math&gt;.

On en déduit &lt;math&gt;uy=\varepsilon vx&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;u=x&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;v=y&lt;/math&gt;}}'''Exemples''':

les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique 

&lt;math&gt;\begin{align}
3^3&amp;= 1 \cdot 5 ^2    &amp;+&amp; 2 \cdot 1 ^2
\\
5^3&amp;= 1 \cdot 11 ^2   &amp;+&amp; 4 \cdot 1 ^2\\
&amp;= 3 \cdot 3 ^2    &amp;+&amp; 2 \cdot 7 ^2\\
\\
15^3&amp;= 1 \cdot 41 ^2&amp;+ &amp;14 \cdot 11 ^2 \\
&amp;=7 \cdot 17 ^2&amp;+&amp; 8 \cdot 13 ^2 \\
&amp;={\color{red}11} \cdot 1^2   &amp;+&amp; {\color{red}4} \cdot 29 ^2 
    &amp;= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot  7^2  \\
 &amp;= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&amp;+&amp; {\color{green}2} \cdot 37 ^2 
 &amp;= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 
\end{align}&lt;/math&gt;


== '''Remarques sur l'exposant pair''' ==


L'idée est de rechercher des formes  &lt;math&gt;z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; copremiers. 

Pour tous  &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; , l'informatique sort systématiquement une solution du type &lt;math&gt;z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 &lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;u=1 \text{ ou } v=1&lt;/math&gt;

Pour les &lt;u&gt;nombres premiers&lt;/u&gt;, c'est la &lt;u&gt;seule et unique&lt;/u&gt; forme:

&lt;math&gt;\begin{align}
7 ^ 2 &amp;=  ( 5 )^2&amp; +&amp; 6 \cdot ( 2 )^2 \\
7 ^ 4&amp; = ( 1 )^2 &amp;+&amp; 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\
7 ^ 6 &amp;= ( 5\times47 )^2 &amp;+&amp; 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\
7 ^ 8 &amp;=  ( 2399 )^2&amp; +&amp; 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2
\end{align}&lt;/math&gt;

Pour les nombres composés, on observe des doublons comme:

&lt;math&gt;\begin{align}
21 ^ 2 &amp;= ( 19 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2 )^2 \\
 &amp;= ( 11 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\
\\
21 ^ 6 &amp;= ( 11\times11\times19 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\
&amp; =  ( 11\times839 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\
\\
15 ^ 4 &amp;= ( 113 )^2 &amp;+&amp; 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\
&amp; = ( 223 )^2&amp; +&amp; 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2
\end{align}&lt;/math&gt;


Et parfois apparaissent d'autres cas que &lt;math&gt;u=1 \text{ ou } v=1&lt;/math&gt;, avec éventuellement des doublons 

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
21 ^ 2 &amp;= 17 \cdot ( 5 )^2 &amp;+&amp; 4 \cdot ( 2 )^2 \\
33 ^ 2 &amp;= 31 \cdot ( 1 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 23 )^2 \\
&amp;= 17 \cdot ( 7 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\
\\
21 ^ 6 &amp;= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &amp;+&amp; 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\
33 ^ 6&amp; = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\
&amp;= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &amp;+ &amp;2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;


Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme.

On arrive alors à une forme &lt;math&gt;(x+y)^{2m}
= A^2+xy\cdot B^2&lt;/math&gt;

{{Proposition|épaisseur=1px|contenu=&lt;math&gt;n=2m&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt; \quad (x-y)^n
= A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2
-xy \cdot  \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2
&lt;/math&gt;}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les &lt;math&gt;f_n(x,y) &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f_n(y,x) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k
= \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(x-y)^n
= \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;(x-y)^n
= A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)&lt;/math&gt;

Par conséquent &lt;math&gt;(x+y)^n
= A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)&lt;/math&gt;

Comme pour le cas impair en multipliant, &lt;math&gt;(x^2-y^2)^n
= A^2-x^2y^2\cdot B^2&lt;/math&gt;

Puis on substitue &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;(x^2,y^2)&lt;/math&gt;}}

'''Exemples''':

&lt;math&gt;\begin{array}{llll}
(x+y)^2&amp;= \left(x-y\right)^2 &amp;+&amp;xy\cdot \left(2\right)^2 \\
(x+y)^4&amp;= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&amp;+&amp;xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\
(x+y)^6&amp;= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &amp;+&amp;xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2
\end{array}&lt;/math&gt;


Si on cherche &lt;math&gt;(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d
^2&lt;/math&gt;, alors la formule ne va être applicable que pour les cas &lt;math&gt;u=1 \text{ ou } v=1&lt;/math&gt;. Et pour &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet:

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
17 ^ 6&amp; = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &amp;+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\
 =289^3&amp;=  225 \cdot ( 3\times11 )^2 &amp;+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 
\end{array} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
23 ^ 6 &amp;= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &amp;+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\
=529 ^ 3 &amp;= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &amp;+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;

Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires &lt;math&gt;n=2^k&lt;/math&gt;

'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2 )^2\\
17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\
17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;


On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers:

{{Proposition|épaisseur=1px|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier impair et  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; 2 entiers positifs tels que &lt;math&gt;p=u+v&lt;/math&gt;

Alors la forme &lt;math&gt;p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2&lt;/math&gt; , &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; copremiers, n'existe que pour  &lt;math&gt;u=1&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;v=1&lt;/math&gt;.
De plus, elle est unique.}}
{{Démonstration déroulante|contenu=

La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair.

Avec &lt;math&gt;p=a+b&lt;/math&gt;. Pour montrer l'inexistence pour &lt;math&gt;a\neq1 \text{ et } b\neq1&lt;/math&gt;, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;p^{2n}=au^2+bv^2&lt;/math&gt;alors il existe &lt;math&gt;(u',v')&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;p^{2n-2}=au'^2+bv'^2&lt;/math&gt;. Jusqu'à &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; et ainsi conclure que &lt;math&gt;a=1 \text{ ou } b=1&lt;/math&gt;

Le passage de &lt;math&gt;2n&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;2n-2&lt;/math&gt; se fait en deux étapes. On peut supposer que &lt;math&gt;p \nmid u&lt;/math&gt; (sinon c'est fait).

&lt;math&gt;a+b \equiv 0 \pmod p&lt;/math&gt;, donc &lt;math&gt;u^2\equiv v^2\pmod p&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;v=\varepsilon u+pw&lt;/math&gt;. 

Ce qui donne  &lt;math&gt;p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2&lt;/math&gt;.

On en déduit  &lt;math&gt;p \mid u+2\varepsilon bw &lt;/math&gt;, d'où &lt;math&gt;u+2\varepsilon bw=pt&lt;/math&gt;

En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme &lt;math&gt;p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2&lt;/math&gt;

En simplifiant par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; puis en utilisant &lt;math&gt;p=a+b&lt;/math&gt;, on obtient &lt;math&gt;p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2&lt;/math&gt;
}}

{{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu=
Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un premier impair.
Alors  &lt;math&gt;\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1&lt;/math&gt;  tels que  &lt;math&gt;p^2=c^2+(p-1)d^2&lt;/math&gt;

En l'occurrence &lt;math&gt;p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)&lt;/math&gt;
|épaisseur=1px}}

'''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
21 ^ 2 &amp;= ( 19 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2 )^2 \\
 &amp;= \color{red}( 11 )^2&amp;+&amp; \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\
&amp; = 17 \cdot ( 5 )^2&amp;+&amp;4 \cdot ( 2 )^2\\
\\
33 ^ 2&amp;=  ( 31 )^2&amp;+&amp;32 \cdot ( 2 )^2 \\
 &amp;=\color{red}( 17 )^2&amp;+&amp;\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\
&amp;= 17 \cdot ( 7 )^2&amp;+&amp;16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\
&amp;= 31 \cdot ( 1 )^2&amp;+&amp;2 \cdot ( 23 )^2 \\
\\
35 ^ 2&amp;=  ( 3\times11 )^2 &amp;+&amp; 34 \cdot ( 2 )^2\\
&amp; = \color{red}( 1 )^2 &amp;+&amp;\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2

\end{array}&lt;/math&gt;


{{Attention| La réciproque est fausse }}

39 a une unique forme sur &lt;math&gt;(1,38)&lt;/math&gt;, mais une autre sur &lt;math&gt;(25,14)&lt;/math&gt;, ce qui &quot;trahit&quot; sa non-primalité.

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &amp;= ( 37 )^2 &amp;+&amp; 38 \cdot ( 2 )^2\\
&amp; = 25 \cdot ( 5 )^2 &amp;+&amp; 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2


\end{array}&lt;/math&gt;

Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en &lt;math&gt;a\cdot u^2+b\cdot v^2&lt;/math&gt;. Puis ensuite 93

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&amp;=  ( 5\times17 )^2 &amp;+&amp; 86 \cdot ( 2 )^2\\
93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&amp;=( 7\times13 )^2 &amp;+&amp; 92 \cdot ( 2 )^2 


\end{array}&lt;/math&gt;

Cependant ils &quot;trahissent&quot; leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
87 ^ 3 &amp;= 85 \cdot ( 79 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\
&amp;= 85 \cdot ( 17 )^2&amp; +&amp; 2 \cdot ( 563 )^2 \\
93 ^ 3&amp; = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 271 )^2\\
&amp;= 91 \cdot ( 37 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 11\times53 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;

== '''Remarques sur le trinôme''' ==
on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] &lt;math&gt;(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}&lt;/math&gt;

On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme.

* Déjà l’existence de triplets &lt;math&gt;(a,b,c)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2&lt;/math&gt; avec les facteurs premiers de &lt;math&gt;(a, b, c)&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\pm1[2n]&lt;/math&gt; ?

Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions.

On donne quelques exemples ici :

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
19^5=(1+7+11)^5 &amp;= 1\times911^2&amp;+ 7\times251^2 &amp;+11\times331^2\\
25^5 =(7+5+13)^5&amp;= 7\times701^ 2&amp;+ 5\times571^2&amp;+ 13\times601^2\\
9^7 = (3+5+1)^7&amp;= 3 \times 449  ^2&amp;+ 5 \times 911^2&amp;+ 1 \times 13 ^4
\end{array} &lt;/math&gt; 

* Ensuite, l’existence de formes &lt;math&gt;x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)&lt;/math&gt; avec les facteurs premiers de &lt;math&gt;f_n(x,y,z)&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;1 [2n]&lt;/math&gt;

Oui. Quelques exemples ici :

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\
8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\
8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 
\end{array} &lt;/math&gt;

Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale

== '''Conclusion''' ==
Afin de généraliser à &quot;toutes les puissances&quot;, nous pouvons condenser les résultats trouvés dans la proposition suivante : 

Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; &lt;u&gt;un premier impair&lt;/u&gt; et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; un &lt;u&gt;entier positif&lt;/u&gt;. Alors il existe 2 &lt;u&gt;uniques&lt;/u&gt; entiers positifs &lt;math&gt;(c, d)&lt;/math&gt; premiers entre eux tels que &lt;math&gt;p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2  &lt;/math&gt;. De plus, si l'exposant &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est premier impair, les facteurs premiers de &lt;math&gt;(u, v)&lt;/math&gt; sont &lt;u&gt;congrus&lt;/u&gt; à &lt;math&gt; \pm 1[2n]&lt;/math&gt;.

L'existence est assurée par les relations  &lt;math&gt;p=1^2+(p-1)1^2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 &lt;/math&gt; , où ici &lt;math&gt;(a,b)=(1,p-1)&lt;/math&gt;. Mais on peut s'étonner de l'&lt;u&gt;unicité&lt;/u&gt; qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de &quot;''ligne de crête''&quot; remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers &lt;math&gt;p\equiv 1 [4]&lt;/math&gt; il existe 2 &lt;u&gt;uniques&lt;/u&gt; &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;p = a^2+b^2&lt;/math&gt;, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les &lt;math&gt;(p^{2k-1}, p^{2k})&lt;/math&gt; ayant exactement &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier &lt;math&gt;p\equiv 1 [4]&lt;/math&gt;, il n'existe pas de formule pour trouver directement les &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;, mais des algorithmes.  Le chemin  &lt;math&gt;p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2  &lt;/math&gt; est directement accessible, avec des formules explicites pour les &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt;. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à &lt;math&gt; \pm 1[2n]&lt;/math&gt;, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique.

== '''Applications''' ==

===  Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b ===
Soient les coniques du type &lt;math&gt;a x^2 - b y^2= a - b &lt;/math&gt;

En réécrivant &lt;math&gt;\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 &lt;/math&gt;. Alors d'un point &lt;math&gt;(1,1)&lt;/math&gt; solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance &lt;math&gt;n &lt;/math&gt; et l'utilisation de la formule des carrés :  &lt;math&gt;\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 &lt;/math&gt;

Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en &quot;tournant&quot;

[[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des &lt;math&gt;f_n(x,y)&lt;/math&gt; à partir de (1;1)|cadre|centré]]

[[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]]


=== Équation de Bachet-Mordell ===
Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type &lt;math&gt;y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites).

Ici nous travaillons pour &lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; (''équation de Bachet'')

Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour &lt;math&gt;k=(3n^2 + 1)_n &lt;/math&gt; , &lt;math&gt;k=(3n^2 -1)_n &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n &lt;/math&gt;

On part de l'identité remarquable :

{{Encadre|contenu=&lt;math&gt;
(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2
&lt;/math&gt;|épaisseur=1px}}

2 possibilités:

1) On pose &lt;math&gt;(a,b)=(1,x-1)&lt;/math&gt;, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube:

{{Encadre|contenu=&lt;math&gt;
\begin{array}{clclcr}
x^3&amp;=&amp;(3x-4)^2&amp;+&amp;(x-1)(x-4)^2 &amp;\quad(E3)\\ 
x^3&amp;=&amp;y^2&amp;+&amp;-k

\end{array}&lt;/math&gt;|épaisseur=1px}}

Voici les solutions pour &lt;math&gt;b=1,2,3,4,5,...&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\begin{array}{rrr}
(E3):&amp;(x,y,k)=
( 1 , 1 , 0 ),
{\color{red}( 2 , 2 , -4 )},
{\color{green}( 3 , 5 , -2 )},
( 4 , 8 , 0 ),
{\color{red}( 5 , 11 , -4 )},
( 6 , 14 , -20 ),
( 7 , 17 , -54 ),
( 8 , 20 , -112 ),
( 9 , 23 , -200 ),~...
\end{array}&lt;/math&gt;

On remarque ici que ce &quot;partage&quot; du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir &lt;math&gt;\color{green}y^2=x^3 -2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\color{red}y^2=x^3 -4&lt;/math&gt;. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré.


2) On change &lt;math&gt;b\rightarrow b^2 &lt;/math&gt;, ce qui donne &lt;math&gt;(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2
&lt;/math&gt;

On a un premier carré. 

On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant &lt;math&gt;(a-3b^2)^ 2=1
&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;a=3b^2 + 1
&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;a=3b^2 - 1
&lt;/math&gt;

{{Encadre|contenu=&lt;math&gt;
\begin{array}{lclclcl}
a=3b^2+1\Rightarrow&amp;(4b^2+1)^3&amp;=&amp;(3b^2+1)&amp;+&amp;\left(b(8b^2+3)\right)^2&amp;\quad(E1)\\
a=3b-1\Rightarrow&amp;(4b^2-1)^3&amp;=&amp;(3b^2-1)&amp;+&amp;\left(b(8b^2-3)\right)^2&amp;\quad(E2)\\
&amp;x^3&amp;=&amp;-k&amp;+&amp;y^2
\end{array}&lt;/math&gt;|épaisseur=1px}}

Ce qui donne comme solutions pour &lt;math&gt;b=1,2,3,4,5,...&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{llrrrrr}
(E1):&amp;(x,y,k)=
\color{red}( 5 , 11 , -4 ),
&amp;( 17 , 70 , -13 ),
&amp;( 37 , 225 , -28 ),
&amp;( 65 , 524 , -49 ),
&amp;(  101 , 1015 , -76),~ ... \\
(E2):&amp;(x,y,k) =
{\color{green}( 3 , 5 , -2 )},
&amp;(  15 , 58 , -11 ),
&amp;(  35 , 207 , -26 ),
&amp;(  63 , 500 , -47 ),
&amp;(  99 , 985 , -74 ),~...
\end{array}&lt;/math&gt;


===[[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Le grand théorème de Fermat]] ===
==== Une remarque presque anodine ====
&lt;math&gt;n&gt;2\Rightarrow z^n \neq  x^n+y^n&lt;/math&gt; : &quot;« ''Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrième puissance, et généralement une puissance quelconque en deux'' ''puissances de même nom au-dessus de la seconde puissance, est une chose impossible, et j’en ai réellement trouvé l’admirable démonstration. La marge trop exiguë ne la contiendrait pas.'' »

C'était un &quot;simple&quot; commentaire à une question du livre de Diophante. Sa date est inconnue. Mais Fermat n'en reparlera jamais. Aucune allusion pendant les 25 ans d'une correspondance très fournie avec ses contemporains. Plus aucune trace. Un mystère total.

==== Rappels historiques ====
Des investigations historiques déjà été faites par de nombreux spécialistes, comme ''Tannery''&lt;ref&gt;https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf&lt;/ref&gt; , ''Itard''&lt;ref&gt;https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767&lt;/ref&gt;, ''Rashed''&lt;ref name=&quot;:3&quot;&gt;https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html&lt;/ref&gt;'','' ''Goldstein''&lt;ref&gt;https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf&lt;/ref&gt; , ''Bachmakova''&lt;ref&gt;{{Article|prénom1=Isabelle|nom1=Bachmakova|titre=Diophante et Fermat|périodique=Revue d'histoire des sciences et de leurs applications|volume=19|numéro=4|date=1966|issn=0048-7996|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/23905707|consulté le=2026-07-23|pages=289–306}}&lt;/ref&gt;. Mais consulter tous ces remarquables travaux ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la correspondance de Fermat&lt;ref&gt;https://archive.org/details/oeuvresdefermat942ferm&lt;/ref&gt;, ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. On peut retenir les jalons suivants:

* Lettre à ''Domini de Sainte-Croix'' en 1636 ou 1637 : Fermat le met &quot;au défi&quot; de trouver des entiers tels que  &lt;math&gt; z^3 =  x^3+y^3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; z^4 =  x^4+y^4&lt;/math&gt;. Il a donc déjà les cas &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; n=4&lt;/math&gt; de son théorème. Le cas &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt; prend probablement sa source à la question &lt;math&gt; a^3+b^3 =  c^3+d^3&lt;/math&gt; du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube&lt;ref&gt;En effet, on tombe rapidement sur la formule &lt;math&gt;b^3\left(b^3+2a^3\right)^3={\color{green}(a^3+b^3)}\left(b^3-a^3\right)^3 + a^3\left(a^3+2b^3\right)^3&lt;/math&gt;. On n'est pas loin du partage d'une cube! Il suffirait juste de trouver un premier cube &lt;math&gt;\color{green}c^3=a^3+b^3&lt;/math&gt; , qui engendrerait à lui seul une infinité d'autres solutions. Mais ce cube somme de 2 cubes, il n'existe pas.&lt;/ref&gt;. Mais c'est impossible. Fermat en fait l'annonce d'une preuve grâce à sa nouvelle technique révolutionnaire appelée &quot;descente infinie&quot;. Malheureusement il n'en laissera aucuns détails pour ce cas précis&lt;ref&gt;On peut penser que Fermat passe par la voie qu'empruntera Euler. A savoir: la réécriture du problème &lt;math&gt;x^3+y^3=(u+v)^3+(u-v)^3=2uf_3(u^2,v^2)=2u(u^2+3v^2)=z^3&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; impairs et donc &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente. Et la stabilité par multiplication des nombres &lt;math&gt;u^2+3v^2&lt;/math&gt;. Ainsi, en supposant &lt;math&gt;z=a^2+3b^2&lt;/math&gt;, on tombe sur &lt;math&gt;u=a(a+3b)(a-3b)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;v=b(a+b)(a-b)&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;2u&lt;/math&gt; est un cube, donc &lt;math&gt;(2a, a-3b, a+3b)=(r^3,s^3,t^3)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;s^3+t^3=r^3&lt;/math&gt;. Puisque ce sont des diviseurs,  &lt;math&gt;|r|&lt;|u|&lt;|z|&lt;/math&gt;. La descente est amorcée. 

Au passage, &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; pourraient donc éventuellement être négatifs, mais Fermat n'avait pas de problèmes avec les nombres négatifs. Il appelait les nombres positifs les nombres &quot;vrais&quot;, mais ne restait pas bloqué sur les négatifs comme ''Bachet .'' (cf ''Rashed).'' Et contrairement à ce qu'on entend souvent, les grecs anciens comme ''Diophante'' non plus: (cf ''Bachmakova'' )&lt;/ref&gt;. C'était coutume à son époque, où il ne fallait pas trop dévoiler ses secrets. D'ailleurs, dans toute sa correspondance, il n'expliquera qu'une seule fois la démarche, au moment de prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée.&lt;ref&gt;cf Rashed (p321) rappelle que cette explication de la  descente à Frenicle sera reprise et même simplifiée en 1676 dans son &quot;''Traité des Triangles rectangles en nombres, dans lequel Plusieurs belles propriétés de ces Triangles sont démontrées par de nouveaux principes&quot;''  Proposition 39.&lt;/ref&gt; Et c'est ce résultat qui implique directement le cas &lt;math&gt; n=4&lt;/math&gt;. Ainsi, les cas &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; n=4&lt;/math&gt;, s'ils se ressemblent par la forme, sont a priori complètement indépendants. Le grand théorème &lt;math&gt; z^n \neq  x^n+y^n&lt;/math&gt; n'arrive donc pas d'un seul bloc.
* Lettre à ''Frenicle'' en avril 1640 : Fermat se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers&lt;ref&gt;''&quot;Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Arithmétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends  quelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que, si longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle.&quot;''&lt;/ref&gt;
* Lettre à ''Mersenne'' de mai 1640 : il veut vérifier si ''Frenicle'' &quot;ne procède point par tables&quot; en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul.

* Lettre à ''Mersenne'' de juin 1640 : il annonce que &lt;math&gt;2^n-1&lt;/math&gt; n'a que des facteurs premiers en &lt;math&gt;1[2n]&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Pour les &lt;math&gt;2^n -1&lt;/math&gt;, Fermat dit avoir trouvé &lt;math&gt;2^{37}-1=137438953471  =  223\times616318177&lt;/math&gt; en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .&lt;/ref&gt;

* Lettre à  ''Frenicle'' d'aout 1640 : il annonce que &lt;math&gt;\dfrac{2^n+1}{3}&lt;/math&gt; n'a que des facteurs premiers en &lt;math&gt;1[2n]&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;:2&quot;&gt;''&quot;Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini.&quot;''&lt;/ref&gt;

* Lettre à ''Frenicle'' d'octobre 1640 : il a élargi &lt;math&gt;2^n&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;a^n&lt;/math&gt;, et annonce son &quot;petit&quot; théorème pour &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier :  &lt;math&gt;\forall a,~ p| (a^{p-1}-1)&lt;/math&gt;[https://arxiv.org/abs/2502.11165]
* Lettre à ''Mersenne'' en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] :  &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier et congrus à &lt;math&gt;1[4]&lt;/math&gt; est unique somme de 2 carrés&lt;ref&gt;Le théorème est énoncé avant par son contemporain [[w:Albert_Girard#Le_th%C3%A9or%C3%A8me_des_deux_carr%C3%A9s|Albert Girard]] . Mais Il est souvent reporté que Fermat ne le connaissais pas. &lt;/ref&gt;. Mais aussi il étend aux &lt;u&gt;puissances&lt;/u&gt; en précisant que &lt;math&gt;(p^{2k-1}, p^{2k})&lt;/math&gt; ont exactement &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; décompositions différentes en somme de 2 carrés.
Il quasiment certain que Fermat a continué son travail sur les puissances. Notamment que &lt;math&gt;\frac{ x^p+y^p}{x+y}&lt;/math&gt;ne contient que des facteurs premiers congrus à &lt;math&gt;1[2p]&lt;/math&gt; 

==== Fermat et les carrés ====
Fermat hérite des questions de ces prédécesseurs autour des carrés et des cubes. Mais Il marque une vraie rupture par rapport à la tradition diophantienne. Il se focalise sur les nombres entiers, là où les autres cherchent des nombres rationnels. Une fois lancé, il continuera de s'intéresser aux combinaisons linéaires de carrés entiers, avec notamment les familles de nombres premiers de la forme &lt;math&gt;a^2+nb^2&lt;/math&gt;, l'équation &lt;math&gt;x^2-ny^2=1&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;:4&quot;&gt;Des solutions rationnelles de &lt;math&gt;x^2-ny^2=1&lt;/math&gt; sont &lt;math&gt;(x,y)=\left(\dfrac{1+nm^2}{1-nm^2}; \dfrac{2m}{1-nm^2}\right), m \in \Q&lt;/math&gt;. En effet, en remarquant que l'équation se réécrit &lt;math&gt;(x+1)(x-1)=ny^2&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;y=m(x+1)&lt;/math&gt; et on se retrouve avec uniquement du 1er degré sur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Par contre, dans &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, c'est une toute autre affaire! Fermat cherchera et dira avoir trouvé, sans autre précision, qu'il y en existe quel que soit &lt;math&gt;n &lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ... Il a également innové dans les méthodes de résolution de systèmes doubles ou triples d'équations &lt;math&gt;a_ix+b_i=y^2&lt;/math&gt; . Plus généralement, il s'intéresse aux techniques d'élimination, où il publie même un papier&lt;ref&gt;https://fr.wikisource.org/wiki/%C5%92uvres_de_Fermat/I/M%C3%A9thode_d%E2%80%99%C3%A9limination&lt;/ref&gt;. Ces méthodes consiste à supprimer des inconnues, et réduire le degré des équations. On renvoie aux explications d'''Erwan Penchevre''&lt;ref&gt;https://images.math.cnrs.fr/wp-content/uploads/2024/02/penchevre-04-elimination.pdf&lt;/ref&gt;. Enfin, il était expert en carrés magiques. Et même des carrés magiques en 3 dimensions, nommés cubes magiques&lt;ref&gt;{{Lien web|titre=MULTIMAGIE.COM - Le cube magique de Fermat, 1640|url=http://multimagie.com/Francais/Fermat.htm|site=multimagie.com|consulté le=2026-07-08}}&lt;/ref&gt;! 

Bref, il y a beaucoup d'indices pour penser que Fermat avait découvert la forme des carrés  &lt;math&gt;  \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2}  &lt;/math&gt;

En effet, pour &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt;, on  &lt;math&gt;(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2&lt;/math&gt;

Soit en partage &lt;math&gt;x^3=(w+x-w)=w(4w-3x)^2 +(x-w)(x-4w)^2 &lt;/math&gt; 

On peut trouver facilement des solutions aux équations du type  &lt;math&gt;x^3=y^2+k&lt;/math&gt; . 

Soit en substituant &lt;math&gt;w^2&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;, ou plus simplement en prenant &lt;math&gt;w=1&lt;/math&gt; 

Or Fermat a travaillé sur les cubiques &lt;math&gt;x^3=y^2+2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;x^3=y^2+4&lt;/math&gt;, dont la formule atteint immédiatement les solutions &lt;math&gt;(3,5)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\{(2,2),(5,11) \}&lt;/math&gt;. Fermat dira avoir réussi à prouver par descente que ce sont les seules.

==== L'idée de Fermat? ====

Je propose ici une hypothèse pour essayer de résoudre non pas la preuve du théorème, mais le mystère autour de cette preuve. Voici donc comment Pierre de Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème, cet éclair &quot;merveilleux&quot; qui semble avoir surgi et dont on ressent la puissance lorsqu'on lit la note du Diophante.

Considérons un entier &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; quelconque tel que &lt;math&gt;w &lt; x&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;w &lt; y&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un premier supérieur ou égal à 5     

Dans &lt;math&gt;z^p=x^p+y^p&lt;/math&gt;, Substituons &lt;math&gt;(w+x',w+y',w+z')&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;(x,y,z)&lt;/math&gt;.

Cela donne:

&lt;math&gt;(w+z')^p=(w+x')^p+(w+y')^p&lt;/math&gt;     

Avec la formule des carrés, cela devient: 

&lt;math&gt;w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;(a,b,c,d,e,f)&lt;/math&gt;  des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à &lt;math&gt;\pm1 [2n]&lt;/math&gt;,

qu'on peut réduire en: 

&lt;math&gt;w\cdot e^2+z'\cdot f^2 =  w\cdot(a^2+c^2)+x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2&lt;/math&gt;     

Ainsi tous les &lt;math&gt;(a,b,c,d,e,f)&lt;/math&gt; ont des facteurs premiers supérieurs à &lt;math&gt;2p-1&lt;/math&gt;, par conséquent '''strictement''' '''supérieurs à 3 et à 5'''.    

Maintenant (et c'est là que c'est un peu fort de café&lt;ref&gt;Si tant est qu'un mathématicien est &quot;une machine à transformer le café en théorèmes&quot; d'après Paul Erdős&lt;/ref&gt;), par &lt;u&gt;identification sur&lt;/u&gt; &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;, on a  &lt;math&gt;e^2=a^2+c^2&lt;/math&gt; . 

D'où une '''contradiction'''! Car on sait que dans les triplets pythagoriciens  &lt;math&gt;r^2=s^2+t^2&lt;/math&gt;, '''3 et 5 divisent forcément le produit''' &lt;math&gt;rst&lt;/math&gt;  

Certes c'est une affirmation hasardeuse. Car de quel droit identifier sur &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; ? Mais sachant que ça s'écrit pour n'importe quel &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;, l'idée n'est-elle pas séduisante? Peut-on construire un système d'équations? Existe-t-il un certain &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; qui fonctionne&lt;ref&gt;Une première idée serait qu'avec &lt;math&gt;wx+b=wy+c &lt;/math&gt;, si on a &lt;math&gt;b&lt;w&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;c&lt;w&lt;/math&gt;, alors là on peut identifier  &lt;math&gt;x=y&lt;/math&gt;. Pour cela, il faudrait &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; grand, éventuellement en considérant la limite à l'infini? Mais cela ne semble pas fonctionner, car les carrés sont toujours plus grand que les &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Une seconde idée serait de prendre &lt;math&gt;w \in \C&lt;/math&gt; . Pour &lt;math&gt;n=5&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x^5=w(16w^2+5x^2-20wx )^2+(x-w)(16w^2+x^2-12wx)^2&lt;/math&gt;Le premier carré donne une valeur réelle pour &lt;math&gt;w=5x/8+b i, b \in \R&lt;/math&gt; et le deuxième carré pour &lt;math&gt;w=3x/8+b i, b \in \R&lt;/math&gt;. Il n'y a donc pas de recouvrement possible. De plus, cette valeur est commune et vaut &lt;math&gt;-5x^2/4-16b^2&lt;/math&gt;. Qui n'a aucune propriété concernant les facteurs premiers en &lt;math&gt;\pm1 [10]&lt;/math&gt; .  ça ne fonctionne pas&lt;/ref&gt;? Et si Fermat était passé par cette voie si tentante? 

==== Plausibilité historique ====

Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez intéressante du point de vue historique :

- Si ça &quot;fonctionne&quot; pour &lt;math&gt;p \ge 5&lt;/math&gt; , cela ne s'applique pas aux cas &lt;math&gt;n =4&lt;/math&gt; car il faut que &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; soit premier impair. Et pour le cas &lt;math&gt;p =3&lt;/math&gt; , la formule des carrés engendre des facteurs premiers en &lt;math&gt;\pm1 [6]&lt;/math&gt;. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre technique. En l’occurrence la nouvelle descente infinie inventée par Fermat lui-même! Les cas &lt;math&gt;n =3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n =4&lt;/math&gt; restent particuliers. C'étaient les premiers prouvées par Fermat, et il ne se font pas englobés. Chronologiquement, ça se tient.

- C'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela &quot;admirable&quot;. Et il n'y pas de différenciation de cas  &lt;math&gt;p\mid xyz&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;p \nmid xyz&lt;/math&gt; 

- Avec du recul, Fermat a pu se dire que finalement ça ne marcherait pas. C'est l'hypothèse de l'historien ''Jean Itard,'' afin de justifier que Fermat ne citera plus jamais le cas général à ses correspondants. J'en doute car il était honnête homme. Il n'aurait pas laissé la remarque dans le Diophante. Alors n'était-ce juste simplement pas important? Rappelons que le bébé de Fermat, c'est la descente infinie. On le voit bien dans ses lettres. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à ''Wallis'', ''Digby'', ou ''Carcavi'', il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres sont presque laissé au second plan.

- La descente infinie est très compliquée pour &lt;math&gt;n = 5&lt;/math&gt;. Fermat n'a pas pu y arriver, Dirichlet et Legendre en venant à bout en 1825&lt;ref&gt;En appliquant la même technique que pour le cas &lt;math&gt;n=3&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;(u+v)^5+(u-v)^5=2u\left( (u^2+5v^2)^2-5(2v^2)^2 \right) &lt;/math&gt;. L'accroche ici est qu'on retrouve une forme &lt;math&gt;X^2-5Y^2&lt;/math&gt; , stable par multiplication. Ç’aurait pu interpeler Fermat, c'est comme &lt;math&gt;X^2+3Y^2&lt;/math&gt; dans le cas &lt;math&gt;n=3&lt;/math&gt;. Malheureusement ça ne marche plus aussi simplement car on n'obtient pas une expression factorisée de &lt;math&gt;2u&lt;/math&gt;. Voir la démonstration de ''Dirichlet/Legendre'' pour constater les nombreuses difficultés à surmonter.&lt;/ref&gt;. Pire, la technique devient inopérante pour les exposants supérieurs&lt;ref name=&quot;:5&quot;&gt;''Yves Hellegouarch'' dans son livre &quot;''Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles''&quot;, écrit page 38: &quot;''On peut penser que pour les exposants''  ''premiers impairs, Fermat associait à son équation la forme quadratique'' &lt;math&gt;X^2+(-1)^{(p+1)/2}pY^2&lt;/math&gt; . C'est un résultat juste. Mais peut-être anachronique. En effet, cf [https://math.stackexchange.com/questions/5144009/fermat-hellegouarch-sum-of-powers-quadratic-forms maths.stackechange]  pour les calculs qui s'avèrent être fastidieux.&lt;/ref&gt;. Or on sait que Fermat a toujours été suffisamment honnête pour avouer à ses correspondants qu'il n'arrivait pas (encore) à démontrer un résultat. Or Jamais il ne fera mention d'un essai pour des puissances supérieures. Non. Ici avec la formule des carrés, il n'y a pas besoin de descente infinie!

==== Objection? ====
Malheureusement un tout autre scenario est envisageable. Dans l'hypothèse précédente, il faut supposer que Fermat a écrit son commentaire bien après sa première lecture de la question de Diophante. Ou qu'il l'a écrit pour les cas &lt;math&gt;n =3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n =4&lt;/math&gt; , puis qu'il a complété son commentaire une fois son travail sur les puissances effectué. Qu'il y serait donc revenu quelques années après. Ça paraît étrange.

Car vu le ton employé, on peut aussi avoir l'impression que cela est venu d'un bloc, avec toutes les puissances sans distinction de cas, sans séparation entre les cas &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt;, ou &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; premier. Autrement dit, on peut supposer qu'il sait immédiatement, en s'appuyant sur des travaux antérieurs&lt;ref&gt;Fermat a déjà fait énormément de mathématiques avant de s'attaquer à l'arithmétique. D'ailleurs dans sa première lettre à Mersen en 1936, il dit: &quot;''Je serai aussi bien aise d'apprendre par votre moyen tous les Traités ou Livres nouveaux de Mathématiques qui ont paru depuis cinq ou six ans.''&quot; Comme s'il avait dû faire une pause de quelques années. On imagine à cause de son métier très prenant.&lt;/ref&gt;, que le problème est impossible dans &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; , puisque c'est implicite chez Diophante: on cherche comment diviser un carré en somme de 2 carrés '''&lt;u&gt;rationnels&lt;/u&gt;'''. Ainsi Fermat affirmerait haut et fort dans son commentaire que  &lt;math&gt;x^n+y^n=z^n&lt;/math&gt; n'a pas de solution dans &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt;.&lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt;. Ce qui fatalement rend le problème impossible dans &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ! Ce serait ensuite que Fermat essaie de le montrer dans &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, avec des raisonnements spécifiques aux nombres entiers, comme la descente infinie. Il le dit dans ses lettres. Il a eu beaucoup de difficulté à appliquer la technique pour le cas &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt;. Mais il s'est accroché et ça n'était pas pour rien. Car il savait que le résultat était vrai. 

La factorisation &quot;maximale&quot; dans &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;(x+y)^p-(x^p+y^p)=pxy(x+y)(x^2+xy+y^2)^kQ(x,y)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;k=1 \text{ pour } p\equiv -1[6], k=2 \text{ pour } p\equiv 1[6]&lt;/math&gt; . Fermat aurait pu arriver à ce résultat. Et si &lt;math&gt;x^p+y^p=z^p&lt;/math&gt;, alors on se retrouve à gauche avec une différence de puissance, donc à droite obligatoirement des facteurs premiers en &lt;math&gt;1[2p]&lt;/math&gt; sur&lt;math&gt;Q(x,y)&lt;/math&gt;. Mais il n'y a plus de régularité sur les  &lt;math&gt;Q(x,y)&lt;/math&gt;. Leur expression devient imprédictible au fur et à mesure que l'exposant grandit.    

== '''Postface''' ==
Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du  [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai&lt;ref&gt;il existe des suites des couples  &lt;math&gt;(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;  dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour &lt;math&gt;n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 &lt;/math&gt; cf &quot;[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?&quot;]&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;La suite de Perrin &lt;math&gt;(P_n)&lt;/math&gt; est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est  &quot;si ''n'' divise &lt;math&gt;P_n&lt;/math&gt; alors ''n'' est un nombre premier&quot;. le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour &lt;math&gt;n=271441=521^2&lt;/math&gt; . Le nombre &lt;math&gt;P_{271441}&lt;/math&gt; a 33150 chiffres!!&lt;/ref&gt;! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés&lt;ref name=&quot;:1&quot;&gt;{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}&lt;/ref&gt;. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés&lt;ref&gt;&lt;math&gt;h&lt;/math&gt; l’hypoténuse et &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; un côté. L'astuce revient à poser &lt;math&gt;h^2=c^2+(h-\alpha c)^2&lt;/math&gt; afin que les &lt;math&gt;h^2&lt;/math&gt; disparaissent. Ici &lt;math&gt;\alpha \in \mathbb{Q}&lt;/math&gt; un paramètre. Ce qui donne après développement &lt;math&gt;c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h&lt;/math&gt; . Et l'autre côté &lt;math&gt;\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h&lt;/math&gt; . Ici il faut &lt;math&gt;\alpha &gt; 1&lt;/math&gt; pour rester avec des valeurs &quot;positives&quot; et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse &lt;math&gt;\alpha \rightarrow \alpha^{-1}&lt;/math&gt; qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant &lt;math&gt;\alpha \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, on obtient une infinité de solutions.&lt;/ref&gt;. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''&quot;aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''&quot;. Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique&lt;ref&gt;La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant &lt;math&gt;h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 &lt;/math&gt;, on arrive à &lt;math&gt;(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0&lt;/math&gt; . Soit un polynôme du second degré en &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)&lt;/math&gt; .  Avec &lt;math&gt;\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}&lt;/math&gt;, on arrive à &lt;math&gt;\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)&lt;/math&gt; . Or l'équation diophantienne &lt;math&gt;3p(4q^3-p ^3)=d^2&lt;/math&gt; est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!&lt;/ref&gt; ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue &quot;''marge trop petite''&quot; est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes&lt;ref&gt;{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}&lt;/ref&gt;? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}&lt;/ref&gt;? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve&lt;ref&gt;lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&amp;oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}&lt;/ref&gt;. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant &quot;''toutes les puissances''&quot;&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;Fermat est en en fait &quot;tombé&quot; sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, &quot;&lt;math&gt;x^p+y^p=z^p&lt;/math&gt; ''sans solution pour''  &lt;math&gt;p&gt;2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(x,y,z) \in \mathbb{N}^3&lt;/math&gt;&quot;, n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,&quot;(''Tidjman et Zagier'') : &lt;math&gt;x^p+y^q=z^r&lt;/math&gt;''sans solution pour'' &lt;math&gt;(p,q,r)&lt;/math&gt; ''&lt;u&gt;tous supérieur à 2&lt;/u&gt; et &lt;math&gt;(x,y,z) \in \mathbb{N}^3&lt;/math&gt; premiers entre eux.&quot;.'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''&lt;u&gt;aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré&lt;/u&gt;''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.&lt;/ref&gt;? . On rappelle qu'il n'y avait point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Lui qui se disait le plus paresseux des hommes. Mais il les dévoilait peu dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps.

Ici nous avons essayé de reprendre Fermat &quot;au mot&quot;. Que signifie &quot;''partager une puissance''&quot;? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat.


== '''Remerciements''' ==
Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations)

Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ScratchingTheSurface , Thomas Andrews et Mastrem pour les démonstrations)

Merci à Yohann C. pour son aide et ses relectures

Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE]

Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres

Merci à Wikiversité


----&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --&gt;</text>
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    <revision>
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        <username>~2026-44175-76</username>
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      <text bytes="64632" sha1="5pr6pmm0etqhydz33y80abaqcj1q92k" xml:space="preserve">&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --&gt;
On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : &lt;math&gt;(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}&lt;/math&gt;.

== '''Résumé''' ==
Cet article présente, pour &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; &lt;u&gt;un entier positif impair&lt;/u&gt;, la remarquable forme &lt;math&gt;  \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2}  &lt;/math&gt;. Son &lt;u&gt;existence&lt;/u&gt; se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en &lt;math&gt;(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b &lt;/math&gt;. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients &lt;math&gt; (a,b,c,d)&lt;/math&gt;, nous étudions quelques propriétés dans &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;. D'abord, avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que &lt;math&gt;(a,b) &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(c,d) &lt;/math&gt; sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a &lt;u&gt;unicité&lt;/u&gt; des &lt;math&gt; (c,d)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;x+y=p&lt;/math&gt;  &lt;u&gt;premier&lt;/u&gt;. Enfin, si l'&lt;u&gt;exposant n est premier&lt;/u&gt;, alors les &lt;u&gt;facteurs premiers&lt;/u&gt; de &lt;math&gt; (a,b)&lt;/math&gt; sont congrus à &lt;math&gt; 1[2n]&lt;/math&gt; , et ceux de &lt;math&gt; (c,d)&lt;/math&gt; à '''&lt;math&gt; \pm 1[2n]&lt;/math&gt;'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'&lt;u&gt;exposant n pair&lt;/u&gt;, où nous trouvons que pour &lt;math&gt;x+y=p&lt;/math&gt; &lt;u&gt;premier&lt;/u&gt;, la forme&lt;math&gt;  (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2  &lt;/math&gt; existe seulement pour &lt;math&gt; x=1 &lt;/math&gt; ou &lt;math&gt; y=1 &lt;/math&gt;. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème.

== '''Introduction''' ==
Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme &lt;math&gt;  (x+y) ^n &lt;/math&gt;, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''&lt;math&gt; (x,y)&lt;/math&gt;''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que &lt;math&gt;  (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 &lt;/math&gt; .

Ces expressions utilisent les mêmes fonctions &lt;math&gt;f_n(x,y)&lt;/math&gt; suivantes :
{{définition|contenu=
&lt;math&gt;
\begin{array}{ll}
n=2m+1 \\
&amp;f_n(x,y) &amp;=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\
&amp;&amp;=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k
\end{array}
&lt;/math&gt;}}'''Exemple''':

&lt;math&gt;\quad 
\begin{array}{lll}
f_3(x,y)=x+3y \\
f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\
f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\
f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\
\end{array}
&lt;/math&gt;

== '''Propriétés algébriques''' ==
Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif

=== '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' ===
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; 
 (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1)
&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme :

&lt;math&gt;
(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k
= \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1}
&lt;/math&gt;

soit
&lt;math&gt;
(x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k}
&lt;/math&gt;

En posant
&lt;math&gt; 
k'=m-k
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'}
&lt;/math&gt;


D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}}

=== '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' ===
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt;
(x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés}
&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : 
&lt;math&gt;
(x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2)
&lt;/math&gt;

En prenant &lt;math&gt;-y&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;
(x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2)
&lt;/math&gt;

En multipliant les deux dernières expressions :
&lt;math&gt;
(x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2
&lt;/math&gt;

D'où la formule en substituant &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;(x^2,y^2)&lt;/math&gt;}}'''Exemples''' 

&lt;math&gt;\begin{array}{l}
(x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\
(x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\
\\
(x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\
(x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 
\end{array}&lt;/math&gt;

=== '''xⁿ+yⁿ''' ===
{{Propriété|titre=Propriétés|contenu=&lt;math&gt;\quad 
\begin{array}{rll}
(x+y)^n+(x-y)^n&amp;=2xf_n(x^2,y^2)&amp;\quad(3)\\
\\
\dfrac{x^n+y^n}{x+y}&amp;= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &amp;\quad(3bis)\\
\\
f_n(x^2,y^2)&amp;=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&amp;\quad(4) \\
\end{array}
&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1)

(3bis) : Par changement de variable &lt;math&gt;(x+y,x-y)=(u,v) &lt;/math&gt; soit  &lt;math&gt;(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)&lt;/math&gt;

Ensuite la définition donne la propriété &lt;math&gt;f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m&lt;/math&gt;

Soit ici avec des carrés &lt;math&gt;f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}&lt;/math&gt;

(4) : En identifiant avec l'identité remarquable
&lt;math&gt;u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j&lt;/math&gt;|titre=Démonstration}} 

=== '''xᵖ+yᵖ, p premier''' ===
On pourra rappeler ici le résultat de Gauss qui relie la somme de puissance, et donc &lt;math&gt;f_p(x^2,y^2)&lt;/math&gt; avec les formes quadratiques:{{Propriété|titre=Théorème|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier, &lt;math&gt;\quad 
\dfrac{x^p+y^p}{x+y}=X^2 + (-1)^{\frac{p+1}2} pY^2 \quad \quad \text{: formule de Gauss}
&lt;/math&gt;

Ce qui est équivalent : &lt;math&gt;f_p(u^2,v^2)=\dfrac{(u+v)^p+(u-v)^p}{2u}=\left( X^2+(-1)^{\frac{p+1}2}pY^2 \right) &lt;/math&gt;}}

Le calcul des carrés n'est pas simple&lt;ref name=&quot;:5&quot; /&gt;.C'est plus simple en faisant un changement de variable

'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{llll}
(u+v)^3+(u-v)^3&amp;=2u\left( X^2+3Y^2 \right)&amp; \quad X,Y=u,v\\
(u+v)^5+(u-v)^5&amp;=2u\left( X^2-5Y^2 \right)&amp; \quad X,Y=u^2+5v^2, 2v^2 \\
(u+v)^7+(u-v)^7&amp;= 2u\left(X^2 + 7Y^2\right)&amp; \quad X,Y=u(u^2 + 7 v^2), v(u^2 - v^2)\\
(u + v)^{11} + (u - v)^{11} &amp;= 2 u (X^2+11Y^2)&amp; \quad X,Y=u(u^4 - 22 u^2 v^2 - 11 v^4), v(3 u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4)
\end{array}&lt;/math&gt;


Nous pouvons observer la régularité suivante:

{{Propriété|titre=Proposition|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier,  &lt;math&gt;\dfrac{(u+v)^p+(u-v)^p}{2u}=\left( X^2+(-1)^{\frac{p+1}2}pY^2 \right) &lt;/math&gt;

Alors &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; divise toujours &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; divise X pour &lt;math&gt;p=3[4]&lt;/math&gt;}}

Par contre, contrairement aux formules (1) et (2), nous n'avons pas trouvé de régularité sur les facteurs premiers des X ou des Y.

C'est ce que nous allons voir dans le chapitre suivant en étudiant les propriétés dans &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;

=== '''(x+y)ᵖ-(xᵖ+yᵖ)''' ===
Afin d'être complet, nous rappelons aussi la factorisation de &lt;math&gt;(x+y)^p-(x^p+y^p), p\in \mathbb{P}&lt;/math&gt;
{{Propriété|titre=Théorème|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier plus grand que 5:

&lt;math&gt;(x+y)^p-(x^p+y^p)=pxy(x+y)(x^2+xy+y^2)^kQ(x,y) &lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;k=1&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;p \equiv -1[6]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k=2&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;p \equiv 1[6]&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=La divisibilité par p vient du petit théorème de Fermat. 

Celle par xy en factorisant le binôme. 

Celle par x+y vient de la factorisation de &lt;math&gt;x^p+y^p&lt;/math&gt; par  &lt;math&gt;x+y&lt;/math&gt;.

Celle par &lt;math&gt;x^2+xy+y^2&lt;/math&gt; vient en prenant y=1. On obtient alors le polynôme &lt;math&gt;X^2+X+1&lt;/math&gt; qui a pour racine &lt;math&gt;w=e^{2i\pi /3}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;w^2&lt;/math&gt;. Et qui donne donc la relation &lt;math&gt;1+w=-w^2&lt;/math&gt;
On vérifie que ces racines ce sont aussi celles de &lt;math&gt;(X+1)^p-(X^p+1)&lt;/math&gt;.

Pour la multiplicité k, on vérifie sur &lt;math&gt;P'(X)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; P''(X)&lt;/math&gt;}}'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
(x+y)^3-(x^3+y^3)&amp;= 3x y (x + y)\\
(x+y)^5-(x^5+y^5)&amp;= 5x y (x + y) (x^2 + x y + y^2)\\
(x+y)^7-(x^7+y^7)&amp;=7xy (x + y) (x^2 + x y + y^2)^2 \\
(x+y)^{11}-(x^{11}+y^{11})&amp;=11xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})&amp;(x^{6} + 3 x^{5}  y + 7 x^{4} y^{2} + 9 x^{3} y^{3} + \text{symétrique}) \\
(x+y)^{13}-(x^{13}+y^{13})&amp;=13xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})^{2}&amp; (x^{6} + 3  x^{5}  y + 8  x^{4}  y^{2} + 11  x^{3}  y^{3} +\text{sym})\\
(x+y)^{17}-(x^{17}+y^{17})&amp;=17xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2}) &amp; (x^{12} + 6  x^{11}  y + 26  x^{10}  y^{2} + 75  x^{9}  y^{3} + 156  x^{8}  y^{4} + 240  x^{7}  y^{5} + 277  x^{6}  y^{6} + \text{sym} )\\
(x+y)^{19}-(x^{19}+y^{19})&amp;=19xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})^{2}&amp; (x^{12} + 6  x^{11}  y + 28  x^{10}  y^{2} + 85  x^{9}  y^{3} + 184  x^{8} y^{4} + 292  x^{7}  y^{5} + 341  x^{6}  y^{6} + \text{sym})\\
...
\end{array}&lt;/math&gt;

== '''Propriétés dans ℤ''' ==
On supposera dans la suite &lt;math&gt;(u,v) \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; copremiers

=== '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' ===
La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers

'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
17^3&amp;= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &amp;+ 12\times 3^2&amp;=5\times (31)^2 &amp;+ 12\times (3)^2\\
17^5&amp;= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &amp;+ 12\times 331^2&amp;=5\times (5\cdot29)^2 &amp;+ 12\times (331)^2\\
17^7&amp;= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&amp;+ 12\times 3767^2&amp;=5\times (6929)^2&amp;+ 12\times (3767)^2\\
17^9&amp;=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&amp;+ 12\times 42921^2 &amp;=5\times (31\cdot4481)^2&amp;+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\
...
\end{array}&lt;/math&gt;

Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre 

=== Parité et 2-valuation ===
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u, v)&lt;/math&gt; de parité différente &lt;math&gt; \Rightarrow f_n(u,v)&lt;/math&gt; impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; de parité différente:

Par définition &lt;math&gt;f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)&lt;/math&gt; . 
n étant impair, alors &lt;math&gt;f_n(u,v)&lt;/math&gt; est impair|titre=Démonstration}}
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u, v)&lt;/math&gt; impairs ou de parité différente, alors &lt;math&gt; \dfrac{u^n+v^n}{u+v}&lt;/math&gt;  impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; de parité différente, on a un quotient de 2 impairs

si  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; impairs,&lt;math&gt; (u,v)=(a+b,a-b)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; de parité différente. 

Or (3) donne  &lt;math&gt;\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)&lt;/math&gt;, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}}
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u, v)&lt;/math&gt; impairs&lt;math&gt; \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt;  impairs, on peut toujours changer de variable:  

&lt;math&gt;(u,v)=(x+y,x-y) &lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; de parité différente. 

D'après (4bis), &lt;math&gt;f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j&lt;/math&gt;

Or &lt;math&gt;\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)&lt;/math&gt; est impair avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; de parité différente


Ce qui implique que &lt;math&gt; f_n(u^2,v^2)&lt;/math&gt;  a nécessairement une 2-valuation de &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;|titre=Démonstration}}
=== '''Coprimalité''' ===
Nous considérerons dans la suite &lt;math&gt;(u,v) &lt;/math&gt; copremiers &lt;u&gt;de parité différente&lt;/u&gt;{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente
&lt;math&gt;
 \Rightarrow\begin{cases}
f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &amp;(5) \\
n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &amp;(6)\\
\end{cases}
&lt;/math&gt;|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si &lt;math&gt;u,v &lt;/math&gt; de parités différentes alors &lt;math&gt;f(v,u) &lt;/math&gt; sont impairs.   

Considérons &lt;math&gt;p &lt;/math&gt; un diviseur premier impair commun. On a donc &lt;math&gt;f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv  0 ~[p] &lt;/math&gt; . La forme  (2) implique &lt;math&gt;u \equiv v ~[p] &lt;/math&gt;

En réinjectant dans la définition de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, on obtient: 

&lt;math&gt;f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m  (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] &lt;/math&gt;

Par conséquent &lt;math&gt;f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] &lt;/math&gt;. Même résultat pour &lt;math&gt;v &lt;/math&gt;.

Ainsi tout diviseur premier commun à  &lt;math&gt;f(u,v) &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f(v,u) &lt;/math&gt; divise aussi &lt;math&gt;u &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;v &lt;/math&gt;.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' &lt;math&gt;f(u,v)=nv^m +uP(u,v) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;P &lt;/math&gt; un polynôme .

Avec &lt;math&gt; u \wedge nv^m =1 &lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt; u \wedge f(u,v)=1 &lt;/math&gt;, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|&lt;math&gt;f_n(u,v)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f_n(u^2,v^2)&lt;/math&gt; ne sont pas forcément premiers entre eux!

&lt;math&gt;
\begin{array}{ll}
f_{11}(29,18)&amp;=  6117463571&amp;= 23 \times 109 \times 2440153\\
f_{11}(29^2,18^2)&amp;=42623439661994533 &amp;= 23 \times 67 \times 27659597444513
\end{array}
&lt;/math&gt;}}


=== '''Puissance n première''' ===
Ici on considérera &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; &lt;u&gt;premier impair&lt;/u&gt;

==== n-valuation  ====
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; n&lt;/math&gt; premier impair, &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente.

&lt;math&gt;
\Rightarrow
\begin{cases}
n\nmid u \Rightarrow n\nmid  f_n(u,v) \\
n\mid   u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &amp;(7)
\end{cases}
&lt;/math&gt;|titre=Proposition}}'''Exemples''':

&lt;math&gt;\begin{array}{l}
(u,v)= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\
f_{3} (u,v)=23\times 1867 \\
f_{\color{red}5}  (u,v)= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\
f_{\color{green}7}  (u,v)= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\
f_{11} (u,v)=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019
\end{array}&lt;/math&gt;{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est premier, &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; divise tous les coefficients binomiaux.

Si &lt;math&gt;n \ge 5&lt;/math&gt; , on peut écrire  &lt;math&gt;\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;P &lt;/math&gt; polynôme.|titre=Démonstration}}


==== Facteurs premiers modulo 2n ====
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; n&lt;/math&gt; premier impair, &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente, &lt;math&gt;n\nmid u&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
f_n(u,v)&amp;=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&amp;(8) \\ 
f_n(u^2,v)&amp;=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&amp;(9) \\ f_n(u^2,v^2)&amp;=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &amp;(10)
\end{cases}
&lt;/math&gt;|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}&lt;/ref&gt; : &quot;''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn&quot;'' 

En résumé, d'après (3bis) : &lt;math&gt;2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) &lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;p \neq n&lt;/math&gt; un diviseur premier impair de &lt;math&gt;\dfrac{x^n+y^n}{x+y}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x^n+y^n \equiv 0[p]&lt;/math&gt;   donne    &lt;math&gt;\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]&lt;/math&gt;,      soit &lt;math&gt;\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]&lt;/math&gt;

D'après le petit théorème de Fermat &lt;math&gt;\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]&lt;/math&gt;

Donc  &lt;math&gt;p-1\mid 2n&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;p \equiv 1 [2n]&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}&lt;/ref&gt; : &quot;''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''&quot;

L'idée est d'utiliser la relation sous la forme:

&lt;math&gt;
(\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x)
&lt;/math&gt; et de travailler dans &lt;math&gt;\mathbb{Z/n^2 Z}&lt;/math&gt;}}

==== Exemples ====
&lt;math&gt;f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]&lt;/math&gt; : Les facteurs premiers tous congrus à &lt;math&gt;\pm 1[2n]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
f_{ 5 }( 6 , 11 ) &amp;=1301 &amp;\equiv1&amp;[ 10 ] \\
f_{ 7 }( 6 , 11 ) &amp;=181\times239 &amp;\equiv-1\times1 &amp;[ 14 ] \\ 
f_{ 11 }( 6 , 11 ) &amp;=47820079 &amp;\equiv1&amp;[ 22 ] \\
f_{ 13 }( 6 , 11 ) &amp;=8969\times177269 &amp;\equiv-1\times1 &amp;[ 26 ] \\ 
f_{ 19 }( 6 , 11 ) &amp;=151\times386989747169 &amp;\equiv-1\times-1 &amp;[ 38 ] \\ 
f_{ 23 }( 6 , 11 ) &amp;=5278223\times12238317893 &amp;\equiv-1\times-1 &amp;[ 46 ] \\ 
f_{ 29 }( 6 , 11 ) &amp;=233\times521\times1309699\times14932891583 &amp;\equiv1\times-1\times1\times-1 &amp;[ 58 ] \\
...
\end{array}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;f_n(u^2,v)\equiv  1[2n]&lt;/math&gt; : Le nombre de facteurs en &lt;math&gt;-1[2n]&lt;/math&gt; est pair.

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=5861 &amp;\equiv1&amp;[ 10 ] \\
f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=507809 &amp;\equiv1&amp;[ 14 ] \\
f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=89\times6029\times7129 &amp;\equiv1\times1\times1 &amp;[ 22 ] \\ 
f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=883\times2341\times160627 &amp;\equiv-1\times1\times-1 &amp;[ 26 ] \\ 
f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=67\times187067\times199591969 &amp;\equiv-1\times-1\times1 &amp;[ 34 ] \\ 
f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &amp;=229\times683\times1901\times2963\times246469 &amp;\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &amp;[ 38 ] \\ 
f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&amp;=367 \times 4457595074737380607  &amp;\equiv-1\times-1 &amp;[ 46 ] \\ 
f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&amp;=1069838719517673460520580221 &amp;\equiv1&amp;[ 58 ] \\
...
\end{array} 
&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;f_n(u^2,v^2)\equiv  1[2n] &lt;/math&gt; : Les facteurs premiers tous congrus à &lt;math&gt;1[2n]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{lll} 
f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 118061 &amp;\equiv1&amp;[ 10 ] \\
f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 34188379 &amp;\equiv1&amp;[ 14 ] \\
f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 23\times89\times2377\times586961 &amp;\equiv1\times1\times1\times1 &amp;[ 22 ] \\ 
f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 30187\times27342279823 &amp;\equiv1\times1 &amp;[ 26 ] \\ 
f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 2129\times3079\times3039225397425209 &amp;\equiv1\times1\times1 &amp;[ 38 ] \\ 
f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;=1663964075070633572800332299&amp;\equiv1&amp;[ 46 ]  \\
f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;=59\times11250493\times60508154689065340703592763&amp;\equiv1\times1\times1 &amp;[ 58 ]  \\
...
\end{array}
&lt;/math&gt;

=== Unicité ===

==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ====
Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles  &lt;math&gt;(u+v)^n=u.a+v.b &lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;(u,v) &lt;/math&gt; premiers entre eux de parité différente, et &lt;math&gt; (a,b)&lt;/math&gt; n'ayant que des facteurs premiers en '''&lt;math&gt;1[2n] &lt;/math&gt;'''. Nous considérons aussi le cas  &lt;math&gt;n|u&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;v_n(a)=2&lt;/math&gt;. 

L'exemple '''&lt;math&gt;z=7^5 &lt;/math&gt;''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie:  

{{Exemple déroulant|contenu=&lt;math&gt; 
\begin{array}{lll}  
7^5&amp;= 1 \times( 61 )&amp;+ 6 \times( 2791)\\
&amp;= 1 \times( 241 )&amp;+ 6 \times( 11\times251)\\

&amp;...\\
&amp;= 1 \times( 6481 )&amp;+ 6 \times( 1721)\\
&amp;= 3 \times( 31\times71 )&amp;+ 4 \times( 2551)\\
        &amp; =\color{blue}1\times  (6841) &amp;+\color{blue}6\times(11\times151)\\ 
&amp;= 3\times(2441) &amp;+ 4\times(2371)\\
&amp;= 1\times(11\times11\times61) &amp;+ 6\times(1571)\\
&amp;...\\
&amp;= 1\times(8161) &amp;+ 6\times(11\times131)\\
&amp;= 3\times(11\times251) &amp;+ 4\times(2131)\\
&amp;              =\color{red}   3\times(2801) &amp;+ \color{red}  4\times(11\times191)\\

&amp;= 1\times (8521) &amp;+ 6\times(1381)\\
 &amp;\color{green}            = 5\times(5\times11\times31) &amp;+ \color{green}2\times(41\times101)\\
&amp;= 1\times(8641) &amp;+ 6\times(1361)\\
&amp;... \\
&amp;= 5 \times( 5\times401 )&amp;+ 2 \times( 3391)\\
&amp;= 5 \times( 5\times521 )&amp;+ 2 \times( 31\times61)\\
&amp;... \\
&amp;=1 \times (16741) &amp;+ 6 \times( 11)
\end{array}
&lt;/math&gt;|titre=Exemple des 114 occurrences pour &lt;math&gt;7^5&lt;/math&gt;}}

Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint &quot;uniquement&quot; :

&lt;math&gt;\begin{array}{lll} 
7^5&amp;=\color{blue}1\times (6841)&amp;+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\
&amp;=\color{red}3 \times (2801)&amp;+ \color{red}4\times (11 \times  191)\\
&amp;=\color{green}5 \times (5\times  11\times  31)&amp;+\color{green}2\times (41\times  101) \\
\end{array} &lt;/math&gt;

Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en &lt;math&gt;\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{green}5a+2b&lt;/math&gt;

'''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? 


'''Remarque''': 

Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des  '''&lt;math&gt;-1[2n] &lt;/math&gt;'''. 

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
7^5&amp;=1 \times (11^2)^2&amp;+ 6\times (19)^2\\
&amp;=3 \times (31\times19)^2&amp;+ 4\times (59)^2\\
&amp;=5 \times (5\times  11)^2&amp;+2\times (29)^2 \\
\end{array} &lt;/math&gt;

Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''&lt;math&gt;1[2n] &lt;/math&gt;'''.Par exemple:

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
9^5&amp;=1 \times (241)^2&amp;+ 8\times (11)^2\\
15^5&amp;=7 \times (191)^2&amp;+ 8\times (251)^2\\\\
\end{array} &lt;/math&gt;

==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ====
Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique

{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier impair.
Alors pour tout couple &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; d'entiers strictement positifs tels que &lt;math&gt;p=u+v&lt;/math&gt; et pour tout entier impair &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; il existe un unique couple &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que &lt;math&gt;p^n=uc^2+vd^2&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: 
&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}&lt;/ref&gt;


Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths:

Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que &lt;math&gt; p=a+b&lt;/math&gt; . On suppose &lt;math&gt;p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;u,v&lt;/math&gt; premiers entre eux ainsi que &lt;math&gt;x,y&lt;/math&gt;.
En combinant les égalités on obtient &lt;math&gt;p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;p^n&lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;(uy-vx)(uy+vx)&lt;/math&gt;.

On montre assez facilement que &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ne peut pas diviser simultanément &lt;math&gt;uy-vx&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;uy+vx&lt;/math&gt; et on en déduit que &lt;math&gt;p^n&lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;uy-\varepsilon vx&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\varepsilon=\pm1&lt;/math&gt;.

Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de &lt;math&gt;p^n&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2&lt;/math&gt;.

On en déduit &lt;math&gt;uy=\varepsilon vx&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;u=x&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;v=y&lt;/math&gt;}}'''Exemples''':

les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique 

&lt;math&gt;\begin{align}
3^3&amp;= 1 \cdot 5 ^2    &amp;+&amp; 2 \cdot 1 ^2
\\
5^3&amp;= 1 \cdot 11 ^2   &amp;+&amp; 4 \cdot 1 ^2\\
&amp;= 3 \cdot 3 ^2    &amp;+&amp; 2 \cdot 7 ^2\\
\\
15^3&amp;= 1 \cdot 41 ^2&amp;+ &amp;14 \cdot 11 ^2 \\
&amp;=7 \cdot 17 ^2&amp;+&amp; 8 \cdot 13 ^2 \\
&amp;={\color{red}11} \cdot 1^2   &amp;+&amp; {\color{red}4} \cdot 29 ^2 
    &amp;= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot  7^2  \\
 &amp;= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&amp;+&amp; {\color{green}2} \cdot 37 ^2 
 &amp;= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 
\end{align}&lt;/math&gt;


== '''Remarques sur l'exposant pair''' ==


L'idée est de rechercher des formes  &lt;math&gt;z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; copremiers. 

Pour tous  &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; , l'informatique sort systématiquement une solution du type &lt;math&gt;z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 &lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;u=1 \text{ ou } v=1&lt;/math&gt;

Pour les &lt;u&gt;nombres premiers&lt;/u&gt;, c'est la &lt;u&gt;seule et unique&lt;/u&gt; forme:

&lt;math&gt;\begin{align}
7 ^ 2 &amp;=  ( 5 )^2&amp; +&amp; 6 \cdot ( 2 )^2 \\
7 ^ 4&amp; = ( 1 )^2 &amp;+&amp; 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\
7 ^ 6 &amp;= ( 5\times47 )^2 &amp;+&amp; 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\
7 ^ 8 &amp;=  ( 2399 )^2&amp; +&amp; 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2
\end{align}&lt;/math&gt;

Pour les nombres composés, on observe des doublons comme:

&lt;math&gt;\begin{align}
21 ^ 2 &amp;= ( 19 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2 )^2 \\
 &amp;= ( 11 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\
\\
21 ^ 6 &amp;= ( 11\times11\times19 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\
&amp; =  ( 11\times839 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\
\\
15 ^ 4 &amp;= ( 113 )^2 &amp;+&amp; 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\
&amp; = ( 223 )^2&amp; +&amp; 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2
\end{align}&lt;/math&gt;


Et parfois apparaissent d'autres cas que &lt;math&gt;u=1 \text{ ou } v=1&lt;/math&gt;, avec éventuellement des doublons 

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
21 ^ 2 &amp;= 17 \cdot ( 5 )^2 &amp;+&amp; 4 \cdot ( 2 )^2 \\
33 ^ 2 &amp;= 31 \cdot ( 1 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 23 )^2 \\
&amp;= 17 \cdot ( 7 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\
\\
21 ^ 6 &amp;= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &amp;+&amp; 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\
33 ^ 6&amp; = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\
&amp;= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &amp;+ &amp;2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;


Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme.

On arrive alors à une forme &lt;math&gt;(x+y)^{2m}
= A^2+xy\cdot B^2&lt;/math&gt;

{{Proposition|épaisseur=1px|contenu=&lt;math&gt;n=2m&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt; \quad (x-y)^n
= A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2
-xy \cdot  \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2
&lt;/math&gt;}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les &lt;math&gt;f_n(x,y) &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f_n(y,x) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k
= \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(x-y)^n
= \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;(x-y)^n
= A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)&lt;/math&gt;

Par conséquent &lt;math&gt;(x+y)^n
= A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)&lt;/math&gt;

Comme pour le cas impair en multipliant, &lt;math&gt;(x^2-y^2)^n
= A^2-x^2y^2\cdot B^2&lt;/math&gt;

Puis on substitue &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;(x^2,y^2)&lt;/math&gt;}}

'''Exemples''':

&lt;math&gt;\begin{array}{llll}
(x+y)^2&amp;= \left(x-y\right)^2 &amp;+&amp;xy\cdot \left(2\right)^2 \\
(x+y)^4&amp;= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&amp;+&amp;xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\
(x+y)^6&amp;= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &amp;+&amp;xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2
\end{array}&lt;/math&gt;


Si on cherche &lt;math&gt;(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d
^2&lt;/math&gt;, alors la formule ne va être applicable que pour les cas &lt;math&gt;u=1 \text{ ou } v=1&lt;/math&gt;. Et pour &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet:

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
17 ^ 6&amp; = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &amp;+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\
 =289^3&amp;=  225 \cdot ( 3\times11 )^2 &amp;+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 
\end{array} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
23 ^ 6 &amp;= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &amp;+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\
=529 ^ 3 &amp;= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &amp;+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;

Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires &lt;math&gt;n=2^k&lt;/math&gt;

'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2 )^2\\
17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\
17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;


On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers:

{{Proposition|épaisseur=1px|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier impair et  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; 2 entiers positifs tels que &lt;math&gt;p=u+v&lt;/math&gt;

Alors la forme &lt;math&gt;p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2&lt;/math&gt; , &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; copremiers, n'existe que pour  &lt;math&gt;u=1&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;v=1&lt;/math&gt;.
De plus, elle est unique.}}
{{Démonstration déroulante|contenu=

La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair.

Avec &lt;math&gt;p=a+b&lt;/math&gt;. Pour montrer l'inexistence pour &lt;math&gt;a\neq1 \text{ et } b\neq1&lt;/math&gt;, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;p^{2n}=au^2+bv^2&lt;/math&gt;alors il existe &lt;math&gt;(u',v')&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;p^{2n-2}=au'^2+bv'^2&lt;/math&gt;. Jusqu'à &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; et ainsi conclure que &lt;math&gt;a=1 \text{ ou } b=1&lt;/math&gt;

Le passage de &lt;math&gt;2n&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;2n-2&lt;/math&gt; se fait en deux étapes. On peut supposer que &lt;math&gt;p \nmid u&lt;/math&gt; (sinon c'est fait).

&lt;math&gt;a+b \equiv 0 \pmod p&lt;/math&gt;, donc &lt;math&gt;u^2\equiv v^2\pmod p&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;v=\varepsilon u+pw&lt;/math&gt;. 

Ce qui donne  &lt;math&gt;p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2&lt;/math&gt;.

On en déduit  &lt;math&gt;p \mid u+2\varepsilon bw &lt;/math&gt;, d'où &lt;math&gt;u+2\varepsilon bw=pt&lt;/math&gt;

En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme &lt;math&gt;p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2&lt;/math&gt;

En simplifiant par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; puis en utilisant &lt;math&gt;p=a+b&lt;/math&gt;, on obtient &lt;math&gt;p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2&lt;/math&gt;
}}

{{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu=
Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un premier impair.
Alors  &lt;math&gt;\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1&lt;/math&gt;  tels que  &lt;math&gt;p^2=c^2+(p-1)d^2&lt;/math&gt;

En l'occurrence &lt;math&gt;p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)&lt;/math&gt;
|épaisseur=1px}}

'''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
21 ^ 2 &amp;= ( 19 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2 )^2 \\
 &amp;= \color{red}( 11 )^2&amp;+&amp; \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\
&amp; = 17 \cdot ( 5 )^2&amp;+&amp;4 \cdot ( 2 )^2\\
\\
33 ^ 2&amp;=  ( 31 )^2&amp;+&amp;32 \cdot ( 2 )^2 \\
 &amp;=\color{red}( 17 )^2&amp;+&amp;\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\
&amp;= 17 \cdot ( 7 )^2&amp;+&amp;16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\
&amp;= 31 \cdot ( 1 )^2&amp;+&amp;2 \cdot ( 23 )^2 \\
\\
35 ^ 2&amp;=  ( 3\times11 )^2 &amp;+&amp; 34 \cdot ( 2 )^2\\
&amp; = \color{red}( 1 )^2 &amp;+&amp;\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2

\end{array}&lt;/math&gt;


{{Attention| La réciproque est fausse }}

39 a une unique forme sur &lt;math&gt;(1,38)&lt;/math&gt;, mais une autre sur &lt;math&gt;(25,14)&lt;/math&gt;, ce qui &quot;trahit&quot; sa non-primalité.

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &amp;= ( 37 )^2 &amp;+&amp; 38 \cdot ( 2 )^2\\
&amp; = 25 \cdot ( 5 )^2 &amp;+&amp; 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2


\end{array}&lt;/math&gt;

Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en &lt;math&gt;a\cdot u^2+b\cdot v^2&lt;/math&gt;. Puis ensuite 93

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&amp;=  ( 5\times17 )^2 &amp;+&amp; 86 \cdot ( 2 )^2\\
93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&amp;=( 7\times13 )^2 &amp;+&amp; 92 \cdot ( 2 )^2 


\end{array}&lt;/math&gt;

Cependant ils &quot;trahissent&quot; leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
87 ^ 3 &amp;= 85 \cdot ( 79 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\
&amp;= 85 \cdot ( 17 )^2&amp; +&amp; 2 \cdot ( 563 )^2 \\
93 ^ 3&amp; = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 271 )^2\\
&amp;= 91 \cdot ( 37 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 11\times53 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;

== '''Remarques sur le trinôme''' ==
on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] &lt;math&gt;(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}&lt;/math&gt;

On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme.

* Déjà l’existence de triplets &lt;math&gt;(a,b,c)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2&lt;/math&gt; avec les facteurs premiers de &lt;math&gt;(a, b, c)&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\pm1[2n]&lt;/math&gt; ?

Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions.

On donne quelques exemples ici :

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
19^5=(1+7+11)^5 &amp;= 1\times911^2&amp;+ 7\times251^2 &amp;+11\times331^2\\
25^5 =(7+5+13)^5&amp;= 7\times701^ 2&amp;+ 5\times571^2&amp;+ 13\times601^2\\
9^7 = (3+5+1)^7&amp;= 3 \times 449  ^2&amp;+ 5 \times 911^2&amp;+ 1 \times 13 ^4
\end{array} &lt;/math&gt; 

* Ensuite, l’existence de formes &lt;math&gt;x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)&lt;/math&gt; avec les facteurs premiers de &lt;math&gt;f_n(x,y,z)&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;1 [2n]&lt;/math&gt;

Oui. Quelques exemples ici :

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\
8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\
8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 
\end{array} &lt;/math&gt;

Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale

== '''Conclusion''' ==
Afin de généraliser à &quot;toutes les puissances&quot;, nous pouvons condenser les résultats trouvés dans la proposition suivante : 

Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; &lt;u&gt;un premier impair&lt;/u&gt; et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; un &lt;u&gt;entier positif&lt;/u&gt;. Alors il existe 2 &lt;u&gt;uniques&lt;/u&gt; entiers positifs &lt;math&gt;(c, d)&lt;/math&gt; premiers entre eux tels que &lt;math&gt;p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2  &lt;/math&gt;. De plus, si l'exposant &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est premier impair, les facteurs premiers de &lt;math&gt;(u, v)&lt;/math&gt; sont &lt;u&gt;congrus&lt;/u&gt; à &lt;math&gt; \pm 1[2n]&lt;/math&gt;.

L'existence est assurée par les relations  &lt;math&gt;p=1^2+(p-1)1^2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 &lt;/math&gt; , où ici &lt;math&gt;(a,b)=(1,p-1)&lt;/math&gt;. Mais on peut s'étonner de l'&lt;u&gt;unicité&lt;/u&gt; qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de &quot;''ligne de crête''&quot; remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers &lt;math&gt;p\equiv 1 [4]&lt;/math&gt; il existe 2 &lt;u&gt;uniques&lt;/u&gt; &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;p = a^2+b^2&lt;/math&gt;, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les &lt;math&gt;(p^{2k-1}, p^{2k})&lt;/math&gt; ayant exactement &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier &lt;math&gt;p\equiv 1 [4]&lt;/math&gt;, il n'existe pas de formule pour trouver directement les &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;, mais des algorithmes.  Le chemin  &lt;math&gt;p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2  &lt;/math&gt; est directement accessible, avec des formules explicites pour les &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt;. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à &lt;math&gt; \pm 1[2n]&lt;/math&gt;, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique.

== '''Applications''' ==

===  Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b ===
Soient les coniques du type &lt;math&gt;a x^2 - b y^2= a - b &lt;/math&gt;

En réécrivant &lt;math&gt;\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 &lt;/math&gt;. Alors d'un point &lt;math&gt;(1,1)&lt;/math&gt; solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance &lt;math&gt;n &lt;/math&gt; et l'utilisation de la formule des carrés :  &lt;math&gt;\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 &lt;/math&gt;

Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en &quot;tournant&quot;

[[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des &lt;math&gt;f_n(x,y)&lt;/math&gt; à partir de (1;1)|cadre|centré]]

[[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]]


=== Équation de Bachet-Mordell ===
Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type &lt;math&gt;y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites).

Ici nous travaillons pour &lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; (''équation de Bachet'')

Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour &lt;math&gt;k=(3n^2 + 1)_n &lt;/math&gt; , &lt;math&gt;k=(3n^2 -1)_n &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n &lt;/math&gt;

On part de l'identité remarquable :

{{Encadre|contenu=&lt;math&gt;
(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2
&lt;/math&gt;|épaisseur=1px}}

2 possibilités:

1) On pose &lt;math&gt;(a,b)=(1,x-1)&lt;/math&gt;, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube:

{{Encadre|contenu=&lt;math&gt;
\begin{array}{clclcr}
x^3&amp;=&amp;(3x-4)^2&amp;+&amp;(x-1)(x-4)^2 &amp;\quad(E3)\\ 
x^3&amp;=&amp;y^2&amp;+&amp;-k

\end{array}&lt;/math&gt;|épaisseur=1px}}

Voici les solutions pour &lt;math&gt;b=1,2,3,4,5,...&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\begin{array}{rrr}
(E3):&amp;(x,y,k)=
( 1 , 1 , 0 ),
{\color{red}( 2 , 2 , -4 )},
{\color{green}( 3 , 5 , -2 )},
( 4 , 8 , 0 ),
{\color{red}( 5 , 11 , -4 )},
( 6 , 14 , -20 ),
( 7 , 17 , -54 ),
( 8 , 20 , -112 ),
( 9 , 23 , -200 ),~...
\end{array}&lt;/math&gt;

On remarque ici que ce &quot;partage&quot; du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir &lt;math&gt;\color{green}y^2=x^3 -2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\color{red}y^2=x^3 -4&lt;/math&gt;. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré.


2) On change &lt;math&gt;b\rightarrow b^2 &lt;/math&gt;, ce qui donne &lt;math&gt;(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2
&lt;/math&gt;

On a un premier carré. 

On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant &lt;math&gt;(a-3b^2)^ 2=1
&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;a=3b^2 + 1
&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;a=3b^2 - 1
&lt;/math&gt;

{{Encadre|contenu=&lt;math&gt;
\begin{array}{lclclcl}
a=3b^2+1\Rightarrow&amp;(4b^2+1)^3&amp;=&amp;(3b^2+1)&amp;+&amp;\left(b(8b^2+3)\right)^2&amp;\quad(E1)\\
a=3b-1\Rightarrow&amp;(4b^2-1)^3&amp;=&amp;(3b^2-1)&amp;+&amp;\left(b(8b^2-3)\right)^2&amp;\quad(E2)\\
&amp;x^3&amp;=&amp;-k&amp;+&amp;y^2
\end{array}&lt;/math&gt;|épaisseur=1px}}

Ce qui donne comme solutions pour &lt;math&gt;b=1,2,3,4,5,...&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{llrrrrr}
(E1):&amp;(x,y,k)=
\color{red}( 5 , 11 , -4 ),
&amp;( 17 , 70 , -13 ),
&amp;( 37 , 225 , -28 ),
&amp;( 65 , 524 , -49 ),
&amp;(  101 , 1015 , -76),~ ... \\
(E2):&amp;(x,y,k) =
{\color{green}( 3 , 5 , -2 )},
&amp;(  15 , 58 , -11 ),
&amp;(  35 , 207 , -26 ),
&amp;(  63 , 500 , -47 ),
&amp;(  99 , 985 , -74 ),~...
\end{array}&lt;/math&gt;


===[[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Le grand théorème de Fermat]] ===
==== Une remarque presque anodine ====
&lt;math&gt;n&gt;2\Rightarrow z^n \neq  x^n+y^n&lt;/math&gt; : &quot;« ''Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrième puissance, et généralement une puissance quelconque en deux'' ''puissances de même nom au-dessus de la seconde puissance, est une chose impossible, et j’en ai réellement trouvé l’admirable démonstration. La marge trop exiguë ne la contiendrait pas.'' »

C'était un &quot;simple&quot; commentaire à une question du livre de Diophante. Sa date est inconnue. Mais Fermat n'en reparlera jamais. Aucune allusion pendant les 25 ans d'une correspondance très fournie avec ses contemporains. Plus aucune trace. Un mystère total.

==== Rappels historiques ====
Des investigations historiques déjà été faites par de nombreux spécialistes, comme ''Tannery''&lt;ref&gt;https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf&lt;/ref&gt; , ''Itard''&lt;ref&gt;https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767&lt;/ref&gt;, ''Rashed''&lt;ref name=&quot;:3&quot;&gt;https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html&lt;/ref&gt;'','' ''Goldstein''&lt;ref&gt;https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf&lt;/ref&gt; , ''Bachmakova''&lt;ref&gt;{{Article|prénom1=Isabelle|nom1=Bachmakova|titre=Diophante et Fermat|périodique=Revue d'histoire des sciences et de leurs applications|volume=19|numéro=4|date=1966|issn=0048-7996|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/23905707|consulté le=2026-07-23|pages=289–306}}&lt;/ref&gt;. Mais consulter tous ces remarquables travaux ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la correspondance de Fermat&lt;ref&gt;https://archive.org/details/oeuvresdefermat942ferm&lt;/ref&gt;, ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. On peut retenir les jalons suivants:

* Lettre à ''Domini de Sainte-Croix'' en 1636 ou 1637 : Fermat le met &quot;au défi&quot; de trouver des entiers tels que  &lt;math&gt; z^3 =  x^3+y^3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; z^4 =  x^4+y^4&lt;/math&gt;. Il a donc déjà les cas &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; n=4&lt;/math&gt; de son théorème. Le cas &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt; prend probablement sa source à la question &lt;math&gt; a^3+b^3 =  c^3+d^3&lt;/math&gt; du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube&lt;ref&gt;En effet, on tombe rapidement sur la formule &lt;math&gt;b^3\left(b^3+2a^3\right)^3={\color{green}(a^3+b^3)}\left(b^3-a^3\right)^3 + a^3\left(a^3+2b^3\right)^3&lt;/math&gt;. On n'est pas loin du partage d'une cube! Il suffirait juste de trouver un premier cube &lt;math&gt;\color{green}c^3=a^3+b^3&lt;/math&gt; , qui engendrerait à lui seul une infinité d'autres solutions. Mais ce cube somme de 2 cubes, il n'existe pas.&lt;/ref&gt;. Mais c'est impossible. Fermat en fait l'annonce d'une preuve grâce à sa nouvelle technique révolutionnaire appelée &quot;descente infinie&quot;. Malheureusement il n'en laissera aucuns détails pour ce cas précis&lt;ref&gt;On peut penser que Fermat passe par la voie qu'empruntera Euler. A savoir: la réécriture du problème &lt;math&gt;x^3+y^3=(u+v)^3+(u-v)^3=2uf_3(u^2,v^2)=2u(u^2+3v^2)=z^3&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; impairs et donc &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente. Et la stabilité par multiplication des nombres &lt;math&gt;u^2+3v^2&lt;/math&gt;. Ainsi, en supposant &lt;math&gt;z=a^2+3b^2&lt;/math&gt;, on tombe sur &lt;math&gt;u=a(a+3b)(a-3b)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;v=b(a+b)(a-b)&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;2u&lt;/math&gt; est un cube, donc &lt;math&gt;(2a, a-3b, a+3b)=(r^3,s^3,t^3)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;s^3+t^3=r^3&lt;/math&gt;. Puisque ce sont des diviseurs,  &lt;math&gt;|r|&lt;|u|&lt;|z|&lt;/math&gt;. La descente est amorcée. 

Au passage, &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; pourraient donc éventuellement être négatifs, mais Fermat n'avait pas de problèmes avec les nombres négatifs. Il appelait les nombres positifs les nombres &quot;vrais&quot;, mais ne restait pas bloqué sur les négatifs comme ''Bachet .'' (cf ''Rashed).'' Et contrairement à ce qu'on entend souvent, les grecs anciens comme ''Diophante'' non plus: (cf ''Bachmakova'' )&lt;/ref&gt;. C'était coutume à son époque, où il ne fallait pas trop dévoiler ses secrets. D'ailleurs, dans toute sa correspondance, il n'expliquera qu'une seule fois la démarche, au moment de prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée.&lt;ref&gt;cf Rashed (p321) rappelle que cette explication de la  descente à Frenicle sera reprise et même simplifiée en 1676 dans son &quot;''Traité des Triangles rectangles en nombres, dans lequel Plusieurs belles propriétés de ces Triangles sont démontrées par de nouveaux principes&quot;''  Proposition 39.&lt;/ref&gt; Et c'est ce résultat qui implique directement le cas &lt;math&gt; n=4&lt;/math&gt;. Ainsi, les cas &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; n=4&lt;/math&gt;, s'ils se ressemblent par la forme, sont a priori complètement indépendants. Le grand théorème &lt;math&gt; z^n \neq  x^n+y^n&lt;/math&gt; n'arrive donc pas d'un seul bloc.
* Lettre à ''Frenicle'' en avril 1640 : Fermat se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers&lt;ref&gt;''&quot;Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Arithmétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends  quelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que, si longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle.&quot;''&lt;/ref&gt;
* Lettre à ''Mersenne'' de mai 1640 : il veut vérifier si ''Frenicle'' &quot;ne procède point par tables&quot; en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul.

* Lettre à ''Mersenne'' de juin 1640 : il annonce que &lt;math&gt;2^n-1&lt;/math&gt; n'a que des facteurs premiers en &lt;math&gt;1[2n]&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Pour les &lt;math&gt;2^n -1&lt;/math&gt;, Fermat dit avoir trouvé &lt;math&gt;2^{37}-1=137438953471  =  223\times616318177&lt;/math&gt; en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .&lt;/ref&gt;

* Lettre à  ''Frenicle'' d'aout 1640 : il annonce que &lt;math&gt;\dfrac{2^n+1}{3}&lt;/math&gt; n'a que des facteurs premiers en &lt;math&gt;1[2n]&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;:2&quot;&gt;''&quot;Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini.&quot;''&lt;/ref&gt;

* Lettre à ''Frenicle'' d'octobre 1640 : il a élargi &lt;math&gt;2^n&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;a^n&lt;/math&gt;, et annonce son &quot;petit&quot; théorème pour &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier :  &lt;math&gt;\forall a,~ p| (a^{p-1}-1)&lt;/math&gt;[https://arxiv.org/abs/2502.11165]
* Lettre à ''Mersenne'' en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] :  &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier et congrus à &lt;math&gt;1[4]&lt;/math&gt; est unique somme de 2 carrés&lt;ref&gt;Le théorème est énoncé avant par son contemporain [[w:Albert_Girard#Le_th%C3%A9or%C3%A8me_des_deux_carr%C3%A9s|Albert Girard]] . Mais Il est souvent reporté que Fermat ne le connaissais pas. &lt;/ref&gt;. Mais aussi il étend aux &lt;u&gt;puissances&lt;/u&gt; en précisant que &lt;math&gt;(p^{2k-1}, p^{2k})&lt;/math&gt; ont exactement &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; décompositions différentes en somme de 2 carrés.
Il quasiment certain que Fermat a continué son travail sur les puissances. Notamment que &lt;math&gt;\frac{ x^p+y^p}{x+y}&lt;/math&gt;ne contient que des facteurs premiers congrus à &lt;math&gt;1[2p]&lt;/math&gt; 

==== Fermat et les carrés ====
Fermat hérite des questions de ces prédécesseurs autour des carrés et des cubes. Mais Il marque une vraie rupture par rapport à la tradition diophantienne. Il se focalise sur les nombres entiers, là où les autres cherchent des nombres rationnels. Une fois lancé, il continuera de s'intéresser aux combinaisons linéaires de carrés entiers, avec notamment les familles de nombres premiers de la forme &lt;math&gt;a^2+nb^2&lt;/math&gt;, l'équation &lt;math&gt;x^2-ny^2=1&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;:4&quot;&gt;Des solutions rationnelles de &lt;math&gt;x^2-ny^2=1&lt;/math&gt; sont &lt;math&gt;(x,y)=\left(\dfrac{1+nm^2}{1-nm^2}; \dfrac{2m}{1-nm^2}\right), m \in \Q&lt;/math&gt;. En effet, en remarquant que l'équation se réécrit &lt;math&gt;(x+1)(x-1)=ny^2&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;y=m(x+1)&lt;/math&gt; et on se retrouve avec uniquement du 1er degré sur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Par contre, dans &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, c'est une toute autre affaire! Fermat cherchera et dira avoir trouvé, sans autre précision, qu'il y en existe quel que soit &lt;math&gt;n &lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ... Il a également innové dans les méthodes de résolution de systèmes doubles ou triples d'équations &lt;math&gt;a_ix+b_i=y^2&lt;/math&gt; . Plus généralement, il s'intéresse aux techniques d'élimination, où il publie même un papier&lt;ref&gt;https://fr.wikisource.org/wiki/%C5%92uvres_de_Fermat/I/M%C3%A9thode_d%E2%80%99%C3%A9limination&lt;/ref&gt;. Ces méthodes consiste à supprimer des inconnues, et réduire le degré des équations. On renvoie aux explications d'''Erwan Penchevre''&lt;ref&gt;https://images.math.cnrs.fr/wp-content/uploads/2024/02/penchevre-04-elimination.pdf&lt;/ref&gt;. Enfin, il était expert en carrés magiques. Et même des carrés magiques en 3 dimensions, nommés cubes magiques&lt;ref&gt;{{Lien web|titre=MULTIMAGIE.COM - Le cube magique de Fermat, 1640|url=http://multimagie.com/Francais/Fermat.htm|site=multimagie.com|consulté le=2026-07-08}}&lt;/ref&gt;! 

Bref, il y a beaucoup d'indices pour penser que Fermat avait découvert la forme des carrés  &lt;math&gt;  \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2}  &lt;/math&gt;

En effet, pour &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt;, on  &lt;math&gt;(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2&lt;/math&gt;

Soit en partage &lt;math&gt;x^3=(w+x-w)=w(4w-3x)^2 +(x-w)(x-4w)^2 &lt;/math&gt; 

On peut trouver facilement des solutions aux équations du type  &lt;math&gt;x^3=y^2+k&lt;/math&gt; . 

Soit en substituant &lt;math&gt;w^2&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;, ou plus simplement en prenant &lt;math&gt;w=1&lt;/math&gt; 

Or Fermat a travaillé sur les cubiques &lt;math&gt;x^3=y^2+2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;x^3=y^2+4&lt;/math&gt;, dont la formule atteint immédiatement les solutions &lt;math&gt;(3,5)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\{(2,2),(5,11) \}&lt;/math&gt;. Fermat dira avoir réussi à prouver par descente que ce sont les seules.

==== L'idée de Fermat? ====

Je propose ici une hypothèse pour essayer de résoudre non pas la preuve du théorème, mais le mystère autour de cette preuve. Voici donc comment Pierre de Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème, cet éclair &quot;merveilleux&quot; qui semble avoir surgi et dont on ressent la puissance lorsqu'on lit la note du Diophante.

Considérons un entier &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; quelconque tel que &lt;math&gt;w &lt; x&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;w &lt; y&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un premier supérieur ou égal à 5     

Dans &lt;math&gt;z^p=x^p+y^p&lt;/math&gt;, Substituons &lt;math&gt;(w+x',w+y',w+z')&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;(x,y,z)&lt;/math&gt;.

Cela donne:

&lt;math&gt;(w+z')^p=(w+x')^p+(w+y')^p&lt;/math&gt;     

Avec la formule des carrés, cela devient: 

&lt;math&gt;w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;(a,b,c,d,e,f)&lt;/math&gt;  des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à &lt;math&gt;\pm1 [2n]&lt;/math&gt;,

qu'on peut réduire en: 

&lt;math&gt;w\cdot e^2+z'\cdot f^2 =  w\cdot(a^2+c^2)+x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2&lt;/math&gt;     

Ainsi tous les &lt;math&gt;(a,b,c,d,e,f)&lt;/math&gt; ont des facteurs premiers supérieurs à &lt;math&gt;2p-1&lt;/math&gt;, par conséquent '''strictement''' '''supérieurs à 3 et à 5'''.    

Maintenant (et c'est là que c'est un peu fort de café&lt;ref&gt;Si tant est qu'un mathématicien est &quot;une machine à transformer le café en théorèmes&quot; d'après Paul Erdős&lt;/ref&gt;), par &lt;u&gt;identification sur&lt;/u&gt; &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;, on a  &lt;math&gt;e^2=a^2+c^2&lt;/math&gt; . 

D'où une '''contradiction'''! Car on sait que dans les triplets pythagoriciens  &lt;math&gt;r^2=s^2+t^2&lt;/math&gt;, '''3 et 5 divisent forcément le produit''' &lt;math&gt;rst&lt;/math&gt;  

Certes c'est une affirmation hasardeuse. Car de quel droit identifier sur &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; ? Mais sachant que ça s'écrit pour n'importe quel &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;, l'idée n'est-elle pas séduisante? Peut-on construire un système d'équations? Existe-t-il un certain &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; qui fonctionne&lt;ref&gt;Une première idée serait qu'avec &lt;math&gt;wx+b=wy+c &lt;/math&gt;, si on a &lt;math&gt;b&lt;w&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;c&lt;w&lt;/math&gt;, alors là on peut identifier  &lt;math&gt;x=y&lt;/math&gt;. Pour cela, il faudrait &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; grand, éventuellement en considérant la limite à l'infini? Mais cela ne semble pas fonctionner, car les carrés sont toujours plus grand que les &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Une seconde idée serait de prendre &lt;math&gt;w \in \C&lt;/math&gt; . Pour &lt;math&gt;n=5&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x^5=w(16w^2+5x^2-20wx )^2+(x-w)(16w^2+x^2-12wx)^2&lt;/math&gt;Le premier carré donne une valeur réelle pour &lt;math&gt;w=5x/8+b i, b \in \R&lt;/math&gt; et le deuxième carré pour &lt;math&gt;w=3x/8+b i, b \in \R&lt;/math&gt;. Il n'y a donc pas de recouvrement possible. De plus, cette valeur est commune et vaut &lt;math&gt;-5x^2/4-16b^2&lt;/math&gt;. Qui n'a aucune propriété concernant les facteurs premiers en &lt;math&gt;\pm1 [10]&lt;/math&gt; .  ça ne fonctionne pas&lt;/ref&gt;? Et si Fermat était passé par cette voie si tentante? 

==== Plausibilité historique ====

Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez intéressante du point de vue historique :

- Si ça &quot;fonctionne&quot; pour &lt;math&gt;p \ge 5&lt;/math&gt; , cela ne s'applique pas aux cas &lt;math&gt;n =4&lt;/math&gt; car il faut que &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; soit premier impair. Et pour le cas &lt;math&gt;p =3&lt;/math&gt; , la formule des carrés engendre des facteurs premiers en &lt;math&gt;\pm1 [6]&lt;/math&gt;. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre technique. En l’occurrence la nouvelle descente infinie inventée par Fermat lui-même! Les cas &lt;math&gt;n =3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n =4&lt;/math&gt; restent particuliers. C'étaient les premiers prouvées par Fermat, et il ne se font pas englobés. Chronologiquement, ça se tient.

- C'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela &quot;admirable&quot;. Et il n'y pas de différenciation de cas  &lt;math&gt;p\mid xyz&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;p \nmid xyz&lt;/math&gt; 

- Avec du recul, Fermat a pu se dire que finalement ça ne marcherait pas. C'est l'hypothèse de l'historien ''Jean Itard,'' afin de justifier que Fermat ne citera plus jamais le cas général à ses correspondants. J'en doute car il était honnête homme. Il n'aurait pas laissé la remarque dans le Diophante. Alors n'était-ce juste simplement pas important? Rappelons que le bébé de Fermat, c'est la descente infinie. On le voit bien dans ses lettres. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à ''Wallis'', ''Digby'', ou ''Carcavi'', il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres sont presque laissé au second plan.

- La descente infinie est très compliquée pour &lt;math&gt;n = 5&lt;/math&gt;. Fermat n'a pas pu y arriver, Dirichlet et Legendre en venant à bout en 1825&lt;ref&gt;En appliquant la même technique que pour le cas &lt;math&gt;n=3&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;(u+v)^5+(u-v)^5=2u\left( (u^2+5v^2)^2-5(2v^2)^2 \right) &lt;/math&gt;. L'accroche ici est qu'on retrouve une forme &lt;math&gt;X^2-5Y^2&lt;/math&gt; , stable par multiplication. Ç’aurait pu interpeler Fermat, c'est comme &lt;math&gt;X^2+3Y^2&lt;/math&gt; dans le cas &lt;math&gt;n=3&lt;/math&gt;. Malheureusement ça ne marche plus aussi simplement car on n'obtient pas une expression factorisée de &lt;math&gt;2u&lt;/math&gt;. Voir la démonstration de ''Dirichlet/Legendre'' pour constater les nombreuses difficultés à surmonter.&lt;/ref&gt;. Pire, la technique devient inopérante pour les exposants supérieurs&lt;ref name=&quot;:5&quot;&gt;''Yves Hellegouarch'' dans son livre &quot;''Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles''&quot;, écrit page 38: &quot;''On peut penser que pour les exposants''  ''premiers impairs, Fermat associait à son équation la forme quadratique'' &lt;math&gt;X^2+(-1)^{(p+1)/2}pY^2&lt;/math&gt; . C'est un résultat juste. Mais peut-être anachronique. En effet, cf [https://math.stackexchange.com/questions/5144009/fermat-hellegouarch-sum-of-powers-quadratic-forms maths.stackechange]  pour les calculs qui s'avèrent être fastidieux.&lt;/ref&gt;. Or on sait que Fermat a toujours été suffisamment honnête pour avouer à ses correspondants qu'il n'arrivait pas (encore) à démontrer un résultat. Or Jamais il ne fera mention d'un essai pour des puissances supérieures. Non. Ici avec la formule des carrés, il n'y a pas besoin de descente infinie!

==== Objection? ====
Malheureusement un tout autre scenario est envisageable. Dans l'hypothèse précédente, il faut supposer que Fermat a écrit son commentaire bien après sa première lecture de la question de Diophante. Ou qu'il l'a écrit pour les cas &lt;math&gt;n =3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n =4&lt;/math&gt; , puis qu'il a complété son commentaire une fois son travail sur les puissances effectué. Qu'il y serait donc revenu quelques années après. Ça paraît étrange.

Car vu le ton employé, on peut aussi avoir l'impression que cela est venu d'un bloc, avec toutes les puissances sans distinction de cas, sans séparation entre les cas &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt;, ou &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; premier. Autrement dit, on peut supposer qu'il sait immédiatement, en s'appuyant sur des travaux antérieurs&lt;ref&gt;Fermat a déjà fait énormément de mathématiques avant de s'attaquer à l'arithmétique. D'ailleurs dans sa première lettre à Mersen en 1936, il dit: &quot;''Je serai aussi bien aise d'apprendre par votre moyen tous les Traités ou Livres nouveaux de Mathématiques qui ont paru depuis cinq ou six ans.''&quot; Comme s'il avait dû faire une pause de quelques années. On imagine à cause de son métier très prenant.&lt;/ref&gt;, que le problème est impossible dans &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; , puisque c'est implicite chez Diophante: on cherche comment diviser un carré en somme de 2 carrés '''&lt;u&gt;rationnels&lt;/u&gt;'''. Ainsi Fermat affirmerait haut et fort dans son commentaire que  &lt;math&gt;x^n+y^n=z^n&lt;/math&gt; n'a pas de solution dans &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt;.&lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt;. Ce qui fatalement rend le problème impossible dans &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ! Ce serait ensuite que Fermat essaie de le montrer dans &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, avec des raisonnements spécifiques aux nombres entiers, comme la descente infinie. Il le dit dans ses lettres. Il a eu beaucoup de difficulté à appliquer la technique pour le cas &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt;. Mais il s'est accroché et ça n'était pas pour rien. Car il savait que le résultat était vrai. 

La factorisation &quot;maximale&quot; dans &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;(x+y)^p-(x^p+y^p)=pxy(x+y)(x^2+xy+y^2)^kQ(x,y)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;k=1 \text{ pour } p\equiv -1[6], k=2 \text{ pour } p\equiv 1[6]&lt;/math&gt; . Fermat aurait pu arriver à ce résultat. Et si &lt;math&gt;x^p+y^p=z^p&lt;/math&gt;, alors on se retrouve à gauche avec une différence de puissance, donc à droite obligatoirement des facteurs premiers en &lt;math&gt;1[2p]&lt;/math&gt; sur&lt;math&gt;Q(x,y)&lt;/math&gt;. Mais il n'y a plus de régularité sur les  &lt;math&gt;Q(x,y)&lt;/math&gt;. Leur expression devient imprédictible au fur et à mesure que l'exposant grandit.    

== '''Postface''' ==
Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du  [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai&lt;ref&gt;il existe des suites des couples  &lt;math&gt;(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;  dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour &lt;math&gt;n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 &lt;/math&gt; cf &quot;[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?&quot;]&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;La suite de Perrin &lt;math&gt;(P_n)&lt;/math&gt; est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est  &quot;si ''n'' divise &lt;math&gt;P_n&lt;/math&gt; alors ''n'' est un nombre premier&quot;. le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour &lt;math&gt;n=271441=521^2&lt;/math&gt; . Le nombre &lt;math&gt;P_{271441}&lt;/math&gt; a 33150 chiffres!!&lt;/ref&gt;! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés&lt;ref name=&quot;:1&quot;&gt;{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}&lt;/ref&gt;. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés&lt;ref&gt;&lt;math&gt;h&lt;/math&gt; l’hypoténuse et &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; un côté. L'astuce revient à poser &lt;math&gt;h^2=c^2+(h-\alpha c)^2&lt;/math&gt; afin que les &lt;math&gt;h^2&lt;/math&gt; disparaissent. Ici &lt;math&gt;\alpha \in \mathbb{Q}&lt;/math&gt; un paramètre. Ce qui donne après développement &lt;math&gt;c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h&lt;/math&gt; . Et l'autre côté &lt;math&gt;\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h&lt;/math&gt; . Ici il faut &lt;math&gt;\alpha &gt; 1&lt;/math&gt; pour rester avec des valeurs &quot;positives&quot; et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse &lt;math&gt;\alpha \rightarrow \alpha^{-1}&lt;/math&gt; qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant &lt;math&gt;\alpha \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, on obtient une infinité de solutions.&lt;/ref&gt;. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''&quot;aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''&quot;. Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique&lt;ref&gt;La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant &lt;math&gt;h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 &lt;/math&gt;, on arrive à &lt;math&gt;(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0&lt;/math&gt; . Soit un polynôme du second degré en &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)&lt;/math&gt; .  Avec &lt;math&gt;\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}&lt;/math&gt;, on arrive à &lt;math&gt;\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)&lt;/math&gt; . Or l'équation diophantienne &lt;math&gt;3p(4q^3-p ^3)=d^2&lt;/math&gt; est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!&lt;/ref&gt; ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue &quot;''marge trop petite''&quot; est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes&lt;ref&gt;{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}&lt;/ref&gt;? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}&lt;/ref&gt;? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve&lt;ref&gt;lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&amp;oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}&lt;/ref&gt;. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant &quot;''toutes les puissances''&quot;&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;Fermat est en en fait &quot;tombé&quot; sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, &quot;&lt;math&gt;x^p+y^p=z^p&lt;/math&gt; ''sans solution pour''  &lt;math&gt;p&gt;2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(x,y,z) \in \mathbb{N}^3&lt;/math&gt;&quot;, n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,&quot;(''Tidjman et Zagier'') : &lt;math&gt;x^p+y^q=z^r&lt;/math&gt;''sans solution pour'' &lt;math&gt;(p,q,r)&lt;/math&gt; ''&lt;u&gt;tous supérieur à 2&lt;/u&gt; et &lt;math&gt;(x,y,z) \in \mathbb{N}^3&lt;/math&gt; premiers entre eux.&quot;.'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''&lt;u&gt;aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré&lt;/u&gt;''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.&lt;/ref&gt;? . On rappelle qu'il n'y avait point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Lui qui se disait le plus paresseux des hommes. Mais il les dévoilait peu dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps.

Ici nous avons essayé de reprendre Fermat &quot;au mot&quot;. Que signifie &quot;''partager une puissance''&quot;? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat.


== '''Remerciements''' ==
Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations)

Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ScratchingTheSurface , Thomas Andrews et Mastrem pour les démonstrations)

Merci à Yohann C. pour son aide et ses relectures

Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE]

Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres

Merci à Wikiversité


----&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --&gt;</text>
      <sha1>5pr6pmm0etqhydz33y80abaqcj1q92k</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>985727</id>
      <parentid>985726</parentid>
      <timestamp>2026-08-12T16:12:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alain.fabo</username>
        <id>73895</id>
      </contributor>
      <comment>/* Objection? */ ajout de la factorisation dans \Z à laquelle Fermat aurait pu arriver</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="64827" sha1="rouacyqsm7y4l5jgvo19ie9sndi0q01" xml:space="preserve">&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --&gt;
On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : &lt;math&gt;(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}&lt;/math&gt;.

== '''Résumé''' ==
Cet article présente, pour &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; &lt;u&gt;un entier positif impair&lt;/u&gt;, la remarquable forme &lt;math&gt;  \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2}  &lt;/math&gt;. Son &lt;u&gt;existence&lt;/u&gt; se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en &lt;math&gt;(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b &lt;/math&gt;. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients &lt;math&gt; (a,b,c,d)&lt;/math&gt;, nous étudions quelques propriétés dans &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;. D'abord, avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que &lt;math&gt;(a,b) &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(c,d) &lt;/math&gt; sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a &lt;u&gt;unicité&lt;/u&gt; des &lt;math&gt; (c,d)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;x+y=p&lt;/math&gt;  &lt;u&gt;premier&lt;/u&gt;. Enfin, si l'&lt;u&gt;exposant n est premier&lt;/u&gt;, alors les &lt;u&gt;facteurs premiers&lt;/u&gt; de &lt;math&gt; (a,b)&lt;/math&gt; sont congrus à &lt;math&gt; 1[2n]&lt;/math&gt; , et ceux de &lt;math&gt; (c,d)&lt;/math&gt; à '''&lt;math&gt; \pm 1[2n]&lt;/math&gt;'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'&lt;u&gt;exposant n pair&lt;/u&gt;, où nous trouvons que pour &lt;math&gt;x+y=p&lt;/math&gt; &lt;u&gt;premier&lt;/u&gt;, la forme&lt;math&gt;  (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2  &lt;/math&gt; existe seulement pour &lt;math&gt; x=1 &lt;/math&gt; ou &lt;math&gt; y=1 &lt;/math&gt;. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème.

== '''Introduction''' ==
Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme &lt;math&gt;  (x+y) ^n &lt;/math&gt;, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''&lt;math&gt; (x,y)&lt;/math&gt;''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que &lt;math&gt;  (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 &lt;/math&gt; .

Ces expressions utilisent les mêmes fonctions &lt;math&gt;f_n(x,y)&lt;/math&gt; suivantes :
{{définition|contenu=
&lt;math&gt;
\begin{array}{ll}
n=2m+1 \\
&amp;f_n(x,y) &amp;=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\
&amp;&amp;=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k
\end{array}
&lt;/math&gt;}}'''Exemple''':

&lt;math&gt;\quad 
\begin{array}{lll}
f_3(x,y)=x+3y \\
f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\
f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\
f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\
\end{array}
&lt;/math&gt;

== '''Propriétés algébriques''' ==
Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif

=== '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' ===
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; 
 (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1)
&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme :

&lt;math&gt;
(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k
= \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1}
&lt;/math&gt;

soit
&lt;math&gt;
(x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k}
&lt;/math&gt;

En posant
&lt;math&gt; 
k'=m-k
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'}
&lt;/math&gt;


D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}}

=== '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' ===
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt;
(x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés}
&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : 
&lt;math&gt;
(x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2)
&lt;/math&gt;

En prenant &lt;math&gt;-y&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;
(x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2)
&lt;/math&gt;

En multipliant les deux dernières expressions :
&lt;math&gt;
(x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2
&lt;/math&gt;

D'où la formule en substituant &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;(x^2,y^2)&lt;/math&gt;}}'''Exemples''' 

&lt;math&gt;\begin{array}{l}
(x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\
(x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\
\\
(x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\
(x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 
\end{array}&lt;/math&gt;

=== '''xⁿ+yⁿ''' ===
{{Propriété|titre=Propriétés|contenu=&lt;math&gt;\quad 
\begin{array}{rll}
(x+y)^n+(x-y)^n&amp;=2xf_n(x^2,y^2)&amp;\quad(3)\\
\\
\dfrac{x^n+y^n}{x+y}&amp;= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &amp;\quad(3bis)\\
\\
f_n(x^2,y^2)&amp;=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&amp;\quad(4) \\
\end{array}
&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1)

(3bis) : Par changement de variable &lt;math&gt;(x+y,x-y)=(u,v) &lt;/math&gt; soit  &lt;math&gt;(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)&lt;/math&gt;

Ensuite la définition donne la propriété &lt;math&gt;f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m&lt;/math&gt;

Soit ici avec des carrés &lt;math&gt;f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}&lt;/math&gt;

(4) : En identifiant avec l'identité remarquable
&lt;math&gt;u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j&lt;/math&gt;|titre=Démonstration}} 

=== '''xᵖ+yᵖ, p premier''' ===
On pourra rappeler ici le résultat de Gauss qui relie la somme de puissance, et donc &lt;math&gt;f_p(x^2,y^2)&lt;/math&gt; avec les formes quadratiques:{{Propriété|titre=Théorème|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier, &lt;math&gt;\quad 
\dfrac{x^p+y^p}{x+y}=X^2 + (-1)^{\frac{p+1}2} pY^2 \quad \quad \text{: formule de Gauss}
&lt;/math&gt;

Ce qui est équivalent : &lt;math&gt;f_p(u^2,v^2)=\dfrac{(u+v)^p+(u-v)^p}{2u}=\left( X^2+(-1)^{\frac{p+1}2}pY^2 \right) &lt;/math&gt;}}

Le calcul des carrés n'est pas simple&lt;ref name=&quot;:5&quot; /&gt;.C'est plus simple en faisant un changement de variable

'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{llll}
(u+v)^3+(u-v)^3&amp;=2u\left( X^2+3Y^2 \right)&amp; \quad X,Y=u,v\\
(u+v)^5+(u-v)^5&amp;=2u\left( X^2-5Y^2 \right)&amp; \quad X,Y=u^2+5v^2, 2v^2 \\
(u+v)^7+(u-v)^7&amp;= 2u\left(X^2 + 7Y^2\right)&amp; \quad X,Y=u(u^2 + 7 v^2), v(u^2 - v^2)\\
(u + v)^{11} + (u - v)^{11} &amp;= 2 u (X^2+11Y^2)&amp; \quad X,Y=u(u^4 - 22 u^2 v^2 - 11 v^4), v(3 u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4)
\end{array}&lt;/math&gt;


Nous pouvons observer la régularité suivante:

{{Propriété|titre=Proposition|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier,  &lt;math&gt;\dfrac{(u+v)^p+(u-v)^p}{2u}=\left( X^2+(-1)^{\frac{p+1}2}pY^2 \right) &lt;/math&gt;

Alors &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; divise toujours &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; divise X pour &lt;math&gt;p=3[4]&lt;/math&gt;}}

Par contre, contrairement aux formules (1) et (2), nous n'avons pas trouvé de régularité sur les facteurs premiers des X ou des Y.

C'est ce que nous allons voir dans le chapitre suivant en étudiant les propriétés dans &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;

=== '''(x+y)ᵖ-(xᵖ+yᵖ)''' ===
Afin d'être complet, nous rappelons aussi la factorisation de &lt;math&gt;(x+y)^p-(x^p+y^p), p\in \mathbb{P}&lt;/math&gt;
{{Propriété|titre=Théorème|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier plus grand que 5:

&lt;math&gt;(x+y)^p-(x^p+y^p)=pxy(x+y)(x^2+xy+y^2)^kQ(x,y) &lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;k=1&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;p \equiv -1[6]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k=2&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;p \equiv 1[6]&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=La divisibilité par p vient du petit théorème de Fermat. 

Celle par xy en factorisant le binôme. 

Celle par x+y vient de la factorisation de &lt;math&gt;x^p+y^p&lt;/math&gt; par  &lt;math&gt;x+y&lt;/math&gt;.

Celle par &lt;math&gt;x^2+xy+y^2&lt;/math&gt; vient en prenant y=1. On obtient alors le polynôme &lt;math&gt;X^2+X+1&lt;/math&gt; qui a pour racine &lt;math&gt;w=e^{2i\pi /3}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;w^2&lt;/math&gt;. Et qui donne donc la relation &lt;math&gt;1+w=-w^2&lt;/math&gt;
On vérifie que ces racines ce sont aussi celles de &lt;math&gt;(X+1)^p-(X^p+1)&lt;/math&gt;.

Pour la multiplicité k, on vérifie sur &lt;math&gt;P'(X)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; P''(X)&lt;/math&gt;}}'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
(x+y)^3-(x^3+y^3)&amp;= 3x y (x + y)\\
(x+y)^5-(x^5+y^5)&amp;= 5x y (x + y) (x^2 + x y + y^2)\\
(x+y)^7-(x^7+y^7)&amp;=7xy (x + y) (x^2 + x y + y^2)^2 \\
(x+y)^{11}-(x^{11}+y^{11})&amp;=11xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})&amp;(x^{6} + 3 x^{5}  y + 7 x^{4} y^{2} + 9 x^{3} y^{3} + \text{symétrique}) \\
(x+y)^{13}-(x^{13}+y^{13})&amp;=13xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})^{2}&amp; (x^{6} + 3  x^{5}  y + 8  x^{4}  y^{2} + 11  x^{3}  y^{3} +\text{sym})\\
(x+y)^{17}-(x^{17}+y^{17})&amp;=17xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2}) &amp; (x^{12} + 6  x^{11}  y + 26  x^{10}  y^{2} + 75  x^{9}  y^{3} + 156  x^{8}  y^{4} + 240  x^{7}  y^{5} + 277  x^{6}  y^{6} + \text{sym} )\\
(x+y)^{19}-(x^{19}+y^{19})&amp;=19xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})^{2}&amp; (x^{12} + 6  x^{11}  y + 28  x^{10}  y^{2} + 85  x^{9}  y^{3} + 184  x^{8} y^{4} + 292  x^{7}  y^{5} + 341  x^{6}  y^{6} + \text{sym})\\
...
\end{array}&lt;/math&gt;

== '''Propriétés dans ℤ''' ==
On supposera dans la suite &lt;math&gt;(u,v) \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; copremiers

=== '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' ===
La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers

'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
17^3&amp;= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &amp;+ 12\times 3^2&amp;=5\times (31)^2 &amp;+ 12\times (3)^2\\
17^5&amp;= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &amp;+ 12\times 331^2&amp;=5\times (5\cdot29)^2 &amp;+ 12\times (331)^2\\
17^7&amp;= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&amp;+ 12\times 3767^2&amp;=5\times (6929)^2&amp;+ 12\times (3767)^2\\
17^9&amp;=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&amp;+ 12\times 42921^2 &amp;=5\times (31\cdot4481)^2&amp;+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\
...
\end{array}&lt;/math&gt;

Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre 

=== Parité et 2-valuation ===
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u, v)&lt;/math&gt; de parité différente &lt;math&gt; \Rightarrow f_n(u,v)&lt;/math&gt; impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; de parité différente:

Par définition &lt;math&gt;f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)&lt;/math&gt; . 
n étant impair, alors &lt;math&gt;f_n(u,v)&lt;/math&gt; est impair|titre=Démonstration}}
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u, v)&lt;/math&gt; impairs ou de parité différente, alors &lt;math&gt; \dfrac{u^n+v^n}{u+v}&lt;/math&gt;  impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; de parité différente, on a un quotient de 2 impairs

si  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; impairs,&lt;math&gt; (u,v)=(a+b,a-b)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; de parité différente. 

Or (3) donne  &lt;math&gt;\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)&lt;/math&gt;, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}}
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u, v)&lt;/math&gt; impairs&lt;math&gt; \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt;  impairs, on peut toujours changer de variable:  

&lt;math&gt;(u,v)=(x+y,x-y) &lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; de parité différente. 

D'après (4bis), &lt;math&gt;f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j&lt;/math&gt;

Or &lt;math&gt;\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)&lt;/math&gt; est impair avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; de parité différente


Ce qui implique que &lt;math&gt; f_n(u^2,v^2)&lt;/math&gt;  a nécessairement une 2-valuation de &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;|titre=Démonstration}}
=== '''Coprimalité''' ===
Nous considérerons dans la suite &lt;math&gt;(u,v) &lt;/math&gt; copremiers &lt;u&gt;de parité différente&lt;/u&gt;{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente
&lt;math&gt;
 \Rightarrow\begin{cases}
f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &amp;(5) \\
n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &amp;(6)\\
\end{cases}
&lt;/math&gt;|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si &lt;math&gt;u,v &lt;/math&gt; de parités différentes alors &lt;math&gt;f(v,u) &lt;/math&gt; sont impairs.   

Considérons &lt;math&gt;p &lt;/math&gt; un diviseur premier impair commun. On a donc &lt;math&gt;f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv  0 ~[p] &lt;/math&gt; . La forme  (2) implique &lt;math&gt;u \equiv v ~[p] &lt;/math&gt;

En réinjectant dans la définition de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, on obtient: 

&lt;math&gt;f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m  (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] &lt;/math&gt;

Par conséquent &lt;math&gt;f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] &lt;/math&gt;. Même résultat pour &lt;math&gt;v &lt;/math&gt;.

Ainsi tout diviseur premier commun à  &lt;math&gt;f(u,v) &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f(v,u) &lt;/math&gt; divise aussi &lt;math&gt;u &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;v &lt;/math&gt;.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' &lt;math&gt;f(u,v)=nv^m +uP(u,v) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;P &lt;/math&gt; un polynôme .

Avec &lt;math&gt; u \wedge nv^m =1 &lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt; u \wedge f(u,v)=1 &lt;/math&gt;, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|&lt;math&gt;f_n(u,v)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f_n(u^2,v^2)&lt;/math&gt; ne sont pas forcément premiers entre eux!

&lt;math&gt;
\begin{array}{ll}
f_{11}(29,18)&amp;=  6117463571&amp;= 23 \times 109 \times 2440153\\
f_{11}(29^2,18^2)&amp;=42623439661994533 &amp;= 23 \times 67 \times 27659597444513
\end{array}
&lt;/math&gt;}}


=== '''Puissance n première''' ===
Ici on considérera &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; &lt;u&gt;premier impair&lt;/u&gt;

==== n-valuation  ====
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; n&lt;/math&gt; premier impair, &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente.

&lt;math&gt;
\Rightarrow
\begin{cases}
n\nmid u \Rightarrow n\nmid  f_n(u,v) \\
n\mid   u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &amp;(7)
\end{cases}
&lt;/math&gt;|titre=Proposition}}'''Exemples''':

&lt;math&gt;\begin{array}{l}
(u,v)= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\
f_{3} (u,v)=23\times 1867 \\
f_{\color{red}5}  (u,v)= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\
f_{\color{green}7}  (u,v)= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\
f_{11} (u,v)=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019
\end{array}&lt;/math&gt;{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est premier, &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; divise tous les coefficients binomiaux.

Si &lt;math&gt;n \ge 5&lt;/math&gt; , on peut écrire  &lt;math&gt;\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;P &lt;/math&gt; polynôme.|titre=Démonstration}}


==== Facteurs premiers modulo 2n ====
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; n&lt;/math&gt; premier impair, &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente, &lt;math&gt;n\nmid u&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
f_n(u,v)&amp;=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&amp;(8) \\ 
f_n(u^2,v)&amp;=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&amp;(9) \\ f_n(u^2,v^2)&amp;=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &amp;(10)
\end{cases}
&lt;/math&gt;|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}&lt;/ref&gt; : &quot;''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn&quot;'' 

En résumé, d'après (3bis) : &lt;math&gt;2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) &lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;p \neq n&lt;/math&gt; un diviseur premier impair de &lt;math&gt;\dfrac{x^n+y^n}{x+y}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x^n+y^n \equiv 0[p]&lt;/math&gt;   donne    &lt;math&gt;\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]&lt;/math&gt;,      soit &lt;math&gt;\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]&lt;/math&gt;

D'après le petit théorème de Fermat &lt;math&gt;\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]&lt;/math&gt;

Donc  &lt;math&gt;p-1\mid 2n&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;p \equiv 1 [2n]&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}&lt;/ref&gt; : &quot;''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''&quot;

L'idée est d'utiliser la relation sous la forme:

&lt;math&gt;
(\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x)
&lt;/math&gt; et de travailler dans &lt;math&gt;\mathbb{Z/n^2 Z}&lt;/math&gt;}}

==== Exemples ====
&lt;math&gt;f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]&lt;/math&gt; : Les facteurs premiers tous congrus à &lt;math&gt;\pm 1[2n]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
f_{ 5 }( 6 , 11 ) &amp;=1301 &amp;\equiv1&amp;[ 10 ] \\
f_{ 7 }( 6 , 11 ) &amp;=181\times239 &amp;\equiv-1\times1 &amp;[ 14 ] \\ 
f_{ 11 }( 6 , 11 ) &amp;=47820079 &amp;\equiv1&amp;[ 22 ] \\
f_{ 13 }( 6 , 11 ) &amp;=8969\times177269 &amp;\equiv-1\times1 &amp;[ 26 ] \\ 
f_{ 19 }( 6 , 11 ) &amp;=151\times386989747169 &amp;\equiv-1\times-1 &amp;[ 38 ] \\ 
f_{ 23 }( 6 , 11 ) &amp;=5278223\times12238317893 &amp;\equiv-1\times-1 &amp;[ 46 ] \\ 
f_{ 29 }( 6 , 11 ) &amp;=233\times521\times1309699\times14932891583 &amp;\equiv1\times-1\times1\times-1 &amp;[ 58 ] \\
...
\end{array}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;f_n(u^2,v)\equiv  1[2n]&lt;/math&gt; : Le nombre de facteurs en &lt;math&gt;-1[2n]&lt;/math&gt; est pair.

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=5861 &amp;\equiv1&amp;[ 10 ] \\
f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=507809 &amp;\equiv1&amp;[ 14 ] \\
f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=89\times6029\times7129 &amp;\equiv1\times1\times1 &amp;[ 22 ] \\ 
f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=883\times2341\times160627 &amp;\equiv-1\times1\times-1 &amp;[ 26 ] \\ 
f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=67\times187067\times199591969 &amp;\equiv-1\times-1\times1 &amp;[ 34 ] \\ 
f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &amp;=229\times683\times1901\times2963\times246469 &amp;\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &amp;[ 38 ] \\ 
f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&amp;=367 \times 4457595074737380607  &amp;\equiv-1\times-1 &amp;[ 46 ] \\ 
f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&amp;=1069838719517673460520580221 &amp;\equiv1&amp;[ 58 ] \\
...
\end{array} 
&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;f_n(u^2,v^2)\equiv  1[2n] &lt;/math&gt; : Les facteurs premiers tous congrus à &lt;math&gt;1[2n]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{lll} 
f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 118061 &amp;\equiv1&amp;[ 10 ] \\
f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 34188379 &amp;\equiv1&amp;[ 14 ] \\
f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 23\times89\times2377\times586961 &amp;\equiv1\times1\times1\times1 &amp;[ 22 ] \\ 
f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 30187\times27342279823 &amp;\equiv1\times1 &amp;[ 26 ] \\ 
f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 2129\times3079\times3039225397425209 &amp;\equiv1\times1\times1 &amp;[ 38 ] \\ 
f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;=1663964075070633572800332299&amp;\equiv1&amp;[ 46 ]  \\
f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;=59\times11250493\times60508154689065340703592763&amp;\equiv1\times1\times1 &amp;[ 58 ]  \\
...
\end{array}
&lt;/math&gt;

=== Unicité ===

==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ====
Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles  &lt;math&gt;(u+v)^n=u.a+v.b &lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;(u,v) &lt;/math&gt; premiers entre eux de parité différente, et &lt;math&gt; (a,b)&lt;/math&gt; n'ayant que des facteurs premiers en '''&lt;math&gt;1[2n] &lt;/math&gt;'''. Nous considérons aussi le cas  &lt;math&gt;n|u&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;v_n(a)=2&lt;/math&gt;. 

L'exemple '''&lt;math&gt;z=7^5 &lt;/math&gt;''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie:  

{{Exemple déroulant|contenu=&lt;math&gt; 
\begin{array}{lll}  
7^5&amp;= 1 \times( 61 )&amp;+ 6 \times( 2791)\\
&amp;= 1 \times( 241 )&amp;+ 6 \times( 11\times251)\\

&amp;...\\
&amp;= 1 \times( 6481 )&amp;+ 6 \times( 1721)\\
&amp;= 3 \times( 31\times71 )&amp;+ 4 \times( 2551)\\
        &amp; =\color{blue}1\times  (6841) &amp;+\color{blue}6\times(11\times151)\\ 
&amp;= 3\times(2441) &amp;+ 4\times(2371)\\
&amp;= 1\times(11\times11\times61) &amp;+ 6\times(1571)\\
&amp;...\\
&amp;= 1\times(8161) &amp;+ 6\times(11\times131)\\
&amp;= 3\times(11\times251) &amp;+ 4\times(2131)\\
&amp;              =\color{red}   3\times(2801) &amp;+ \color{red}  4\times(11\times191)\\

&amp;= 1\times (8521) &amp;+ 6\times(1381)\\
 &amp;\color{green}            = 5\times(5\times11\times31) &amp;+ \color{green}2\times(41\times101)\\
&amp;= 1\times(8641) &amp;+ 6\times(1361)\\
&amp;... \\
&amp;= 5 \times( 5\times401 )&amp;+ 2 \times( 3391)\\
&amp;= 5 \times( 5\times521 )&amp;+ 2 \times( 31\times61)\\
&amp;... \\
&amp;=1 \times (16741) &amp;+ 6 \times( 11)
\end{array}
&lt;/math&gt;|titre=Exemple des 114 occurrences pour &lt;math&gt;7^5&lt;/math&gt;}}

Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint &quot;uniquement&quot; :

&lt;math&gt;\begin{array}{lll} 
7^5&amp;=\color{blue}1\times (6841)&amp;+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\
&amp;=\color{red}3 \times (2801)&amp;+ \color{red}4\times (11 \times  191)\\
&amp;=\color{green}5 \times (5\times  11\times  31)&amp;+\color{green}2\times (41\times  101) \\
\end{array} &lt;/math&gt;

Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en &lt;math&gt;\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{green}5a+2b&lt;/math&gt;

'''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? 


'''Remarque''': 

Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des  '''&lt;math&gt;-1[2n] &lt;/math&gt;'''. 

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
7^5&amp;=1 \times (11^2)^2&amp;+ 6\times (19)^2\\
&amp;=3 \times (31\times19)^2&amp;+ 4\times (59)^2\\
&amp;=5 \times (5\times  11)^2&amp;+2\times (29)^2 \\
\end{array} &lt;/math&gt;

Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''&lt;math&gt;1[2n] &lt;/math&gt;'''.Par exemple:

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
9^5&amp;=1 \times (241)^2&amp;+ 8\times (11)^2\\
15^5&amp;=7 \times (191)^2&amp;+ 8\times (251)^2\\\\
\end{array} &lt;/math&gt;

==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ====
Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique

{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier impair.
Alors pour tout couple &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; d'entiers strictement positifs tels que &lt;math&gt;p=u+v&lt;/math&gt; et pour tout entier impair &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; il existe un unique couple &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que &lt;math&gt;p^n=uc^2+vd^2&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: 
&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}&lt;/ref&gt;


Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths:

Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que &lt;math&gt; p=a+b&lt;/math&gt; . On suppose &lt;math&gt;p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;u,v&lt;/math&gt; premiers entre eux ainsi que &lt;math&gt;x,y&lt;/math&gt;.
En combinant les égalités on obtient &lt;math&gt;p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;p^n&lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;(uy-vx)(uy+vx)&lt;/math&gt;.

On montre assez facilement que &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ne peut pas diviser simultanément &lt;math&gt;uy-vx&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;uy+vx&lt;/math&gt; et on en déduit que &lt;math&gt;p^n&lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;uy-\varepsilon vx&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\varepsilon=\pm1&lt;/math&gt;.

Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de &lt;math&gt;p^n&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2&lt;/math&gt;.

On en déduit &lt;math&gt;uy=\varepsilon vx&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;u=x&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;v=y&lt;/math&gt;}}'''Exemples''':

les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique 

&lt;math&gt;\begin{align}
3^3&amp;= 1 \cdot 5 ^2    &amp;+&amp; 2 \cdot 1 ^2
\\
5^3&amp;= 1 \cdot 11 ^2   &amp;+&amp; 4 \cdot 1 ^2\\
&amp;= 3 \cdot 3 ^2    &amp;+&amp; 2 \cdot 7 ^2\\
\\
15^3&amp;= 1 \cdot 41 ^2&amp;+ &amp;14 \cdot 11 ^2 \\
&amp;=7 \cdot 17 ^2&amp;+&amp; 8 \cdot 13 ^2 \\
&amp;={\color{red}11} \cdot 1^2   &amp;+&amp; {\color{red}4} \cdot 29 ^2 
    &amp;= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot  7^2  \\
 &amp;= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&amp;+&amp; {\color{green}2} \cdot 37 ^2 
 &amp;= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 
\end{align}&lt;/math&gt;


== '''Remarques sur l'exposant pair''' ==


L'idée est de rechercher des formes  &lt;math&gt;z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; copremiers. 

Pour tous  &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; , l'informatique sort systématiquement une solution du type &lt;math&gt;z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 &lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;u=1 \text{ ou } v=1&lt;/math&gt;

Pour les &lt;u&gt;nombres premiers&lt;/u&gt;, c'est la &lt;u&gt;seule et unique&lt;/u&gt; forme:

&lt;math&gt;\begin{align}
7 ^ 2 &amp;=  ( 5 )^2&amp; +&amp; 6 \cdot ( 2 )^2 \\
7 ^ 4&amp; = ( 1 )^2 &amp;+&amp; 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\
7 ^ 6 &amp;= ( 5\times47 )^2 &amp;+&amp; 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\
7 ^ 8 &amp;=  ( 2399 )^2&amp; +&amp; 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2
\end{align}&lt;/math&gt;

Pour les nombres composés, on observe des doublons comme:

&lt;math&gt;\begin{align}
21 ^ 2 &amp;= ( 19 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2 )^2 \\
 &amp;= ( 11 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\
\\
21 ^ 6 &amp;= ( 11\times11\times19 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\
&amp; =  ( 11\times839 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\
\\
15 ^ 4 &amp;= ( 113 )^2 &amp;+&amp; 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\
&amp; = ( 223 )^2&amp; +&amp; 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2
\end{align}&lt;/math&gt;


Et parfois apparaissent d'autres cas que &lt;math&gt;u=1 \text{ ou } v=1&lt;/math&gt;, avec éventuellement des doublons 

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
21 ^ 2 &amp;= 17 \cdot ( 5 )^2 &amp;+&amp; 4 \cdot ( 2 )^2 \\
33 ^ 2 &amp;= 31 \cdot ( 1 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 23 )^2 \\
&amp;= 17 \cdot ( 7 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\
\\
21 ^ 6 &amp;= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &amp;+&amp; 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\
33 ^ 6&amp; = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\
&amp;= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &amp;+ &amp;2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;


Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme.

On arrive alors à une forme &lt;math&gt;(x+y)^{2m}
= A^2+xy\cdot B^2&lt;/math&gt;

{{Proposition|épaisseur=1px|contenu=&lt;math&gt;n=2m&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt; \quad (x-y)^n
= A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2
-xy \cdot  \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2
&lt;/math&gt;}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les &lt;math&gt;f_n(x,y) &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f_n(y,x) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k
= \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(x-y)^n
= \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;(x-y)^n
= A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)&lt;/math&gt;

Par conséquent &lt;math&gt;(x+y)^n
= A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)&lt;/math&gt;

Comme pour le cas impair en multipliant, &lt;math&gt;(x^2-y^2)^n
= A^2-x^2y^2\cdot B^2&lt;/math&gt;

Puis on substitue &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;(x^2,y^2)&lt;/math&gt;}}

'''Exemples''':

&lt;math&gt;\begin{array}{llll}
(x+y)^2&amp;= \left(x-y\right)^2 &amp;+&amp;xy\cdot \left(2\right)^2 \\
(x+y)^4&amp;= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&amp;+&amp;xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\
(x+y)^6&amp;= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &amp;+&amp;xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2
\end{array}&lt;/math&gt;


Si on cherche &lt;math&gt;(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d
^2&lt;/math&gt;, alors la formule ne va être applicable que pour les cas &lt;math&gt;u=1 \text{ ou } v=1&lt;/math&gt;. Et pour &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet:

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
17 ^ 6&amp; = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &amp;+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\
 =289^3&amp;=  225 \cdot ( 3\times11 )^2 &amp;+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 
\end{array} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
23 ^ 6 &amp;= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &amp;+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\
=529 ^ 3 &amp;= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &amp;+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;

Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires &lt;math&gt;n=2^k&lt;/math&gt;

'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2 )^2\\
17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\
17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;


On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers:

{{Proposition|épaisseur=1px|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier impair et  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; 2 entiers positifs tels que &lt;math&gt;p=u+v&lt;/math&gt;

Alors la forme &lt;math&gt;p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2&lt;/math&gt; , &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; copremiers, n'existe que pour  &lt;math&gt;u=1&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;v=1&lt;/math&gt;.
De plus, elle est unique.}}
{{Démonstration déroulante|contenu=

La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair.

Avec &lt;math&gt;p=a+b&lt;/math&gt;. Pour montrer l'inexistence pour &lt;math&gt;a\neq1 \text{ et } b\neq1&lt;/math&gt;, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;p^{2n}=au^2+bv^2&lt;/math&gt;alors il existe &lt;math&gt;(u',v')&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;p^{2n-2}=au'^2+bv'^2&lt;/math&gt;. Jusqu'à &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; et ainsi conclure que &lt;math&gt;a=1 \text{ ou } b=1&lt;/math&gt;

Le passage de &lt;math&gt;2n&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;2n-2&lt;/math&gt; se fait en deux étapes. On peut supposer que &lt;math&gt;p \nmid u&lt;/math&gt; (sinon c'est fait).

&lt;math&gt;a+b \equiv 0 \pmod p&lt;/math&gt;, donc &lt;math&gt;u^2\equiv v^2\pmod p&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;v=\varepsilon u+pw&lt;/math&gt;. 

Ce qui donne  &lt;math&gt;p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2&lt;/math&gt;.

On en déduit  &lt;math&gt;p \mid u+2\varepsilon bw &lt;/math&gt;, d'où &lt;math&gt;u+2\varepsilon bw=pt&lt;/math&gt;

En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme &lt;math&gt;p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2&lt;/math&gt;

En simplifiant par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; puis en utilisant &lt;math&gt;p=a+b&lt;/math&gt;, on obtient &lt;math&gt;p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2&lt;/math&gt;
}}

{{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu=
Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un premier impair.
Alors  &lt;math&gt;\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1&lt;/math&gt;  tels que  &lt;math&gt;p^2=c^2+(p-1)d^2&lt;/math&gt;

En l'occurrence &lt;math&gt;p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)&lt;/math&gt;
|épaisseur=1px}}

'''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
21 ^ 2 &amp;= ( 19 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2 )^2 \\
 &amp;= \color{red}( 11 )^2&amp;+&amp; \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\
&amp; = 17 \cdot ( 5 )^2&amp;+&amp;4 \cdot ( 2 )^2\\
\\
33 ^ 2&amp;=  ( 31 )^2&amp;+&amp;32 \cdot ( 2 )^2 \\
 &amp;=\color{red}( 17 )^2&amp;+&amp;\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\
&amp;= 17 \cdot ( 7 )^2&amp;+&amp;16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\
&amp;= 31 \cdot ( 1 )^2&amp;+&amp;2 \cdot ( 23 )^2 \\
\\
35 ^ 2&amp;=  ( 3\times11 )^2 &amp;+&amp; 34 \cdot ( 2 )^2\\
&amp; = \color{red}( 1 )^2 &amp;+&amp;\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2

\end{array}&lt;/math&gt;


{{Attention| La réciproque est fausse }}

39 a une unique forme sur &lt;math&gt;(1,38)&lt;/math&gt;, mais une autre sur &lt;math&gt;(25,14)&lt;/math&gt;, ce qui &quot;trahit&quot; sa non-primalité.

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &amp;= ( 37 )^2 &amp;+&amp; 38 \cdot ( 2 )^2\\
&amp; = 25 \cdot ( 5 )^2 &amp;+&amp; 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2


\end{array}&lt;/math&gt;

Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en &lt;math&gt;a\cdot u^2+b\cdot v^2&lt;/math&gt;. Puis ensuite 93

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&amp;=  ( 5\times17 )^2 &amp;+&amp; 86 \cdot ( 2 )^2\\
93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&amp;=( 7\times13 )^2 &amp;+&amp; 92 \cdot ( 2 )^2 


\end{array}&lt;/math&gt;

Cependant ils &quot;trahissent&quot; leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
87 ^ 3 &amp;= 85 \cdot ( 79 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\
&amp;= 85 \cdot ( 17 )^2&amp; +&amp; 2 \cdot ( 563 )^2 \\
93 ^ 3&amp; = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 271 )^2\\
&amp;= 91 \cdot ( 37 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 11\times53 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;

== '''Remarques sur le trinôme''' ==
on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] &lt;math&gt;(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}&lt;/math&gt;

On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme.

* Déjà l’existence de triplets &lt;math&gt;(a,b,c)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2&lt;/math&gt; avec les facteurs premiers de &lt;math&gt;(a, b, c)&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\pm1[2n]&lt;/math&gt; ?

Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions.

On donne quelques exemples ici :

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
19^5=(1+7+11)^5 &amp;= 1\times911^2&amp;+ 7\times251^2 &amp;+11\times331^2\\
25^5 =(7+5+13)^5&amp;= 7\times701^ 2&amp;+ 5\times571^2&amp;+ 13\times601^2\\
9^7 = (3+5+1)^7&amp;= 3 \times 449  ^2&amp;+ 5 \times 911^2&amp;+ 1 \times 13 ^4
\end{array} &lt;/math&gt; 

* Ensuite, l’existence de formes &lt;math&gt;x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)&lt;/math&gt; avec les facteurs premiers de &lt;math&gt;f_n(x,y,z)&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;1 [2n]&lt;/math&gt;

Oui. Quelques exemples ici :

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\
8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\
8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 
\end{array} &lt;/math&gt;

Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale

== '''Conclusion''' ==
Afin de généraliser à &quot;toutes les puissances&quot;, nous pouvons condenser les résultats trouvés dans la proposition suivante : 

Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; &lt;u&gt;un premier impair&lt;/u&gt; et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; un &lt;u&gt;entier positif&lt;/u&gt;. Alors il existe 2 &lt;u&gt;uniques&lt;/u&gt; entiers positifs &lt;math&gt;(c, d)&lt;/math&gt; premiers entre eux tels que &lt;math&gt;p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2  &lt;/math&gt;. De plus, si l'exposant &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est premier impair, les facteurs premiers de &lt;math&gt;(u, v)&lt;/math&gt; sont &lt;u&gt;congrus&lt;/u&gt; à &lt;math&gt; \pm 1[2n]&lt;/math&gt;.

L'existence est assurée par les relations  &lt;math&gt;p=1^2+(p-1)1^2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 &lt;/math&gt; , où ici &lt;math&gt;(a,b)=(1,p-1)&lt;/math&gt;. Mais on peut s'étonner de l'&lt;u&gt;unicité&lt;/u&gt; qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de &quot;''ligne de crête''&quot; remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers &lt;math&gt;p\equiv 1 [4]&lt;/math&gt; il existe 2 &lt;u&gt;uniques&lt;/u&gt; &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;p = a^2+b^2&lt;/math&gt;, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les &lt;math&gt;(p^{2k-1}, p^{2k})&lt;/math&gt; ayant exactement &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier &lt;math&gt;p\equiv 1 [4]&lt;/math&gt;, il n'existe pas de formule pour trouver directement les &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;, mais des algorithmes.  Le chemin  &lt;math&gt;p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2  &lt;/math&gt; est directement accessible, avec des formules explicites pour les &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt;. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à &lt;math&gt; \pm 1[2n]&lt;/math&gt;, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique.

== '''Applications''' ==

===  Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b ===
Soient les coniques du type &lt;math&gt;a x^2 - b y^2= a - b &lt;/math&gt;

En réécrivant &lt;math&gt;\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 &lt;/math&gt;. Alors d'un point &lt;math&gt;(1,1)&lt;/math&gt; solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance &lt;math&gt;n &lt;/math&gt; et l'utilisation de la formule des carrés :  &lt;math&gt;\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 &lt;/math&gt;

Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en &quot;tournant&quot;

[[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des &lt;math&gt;f_n(x,y)&lt;/math&gt; à partir de (1;1)|cadre|centré]]

[[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]]


=== Équation de Bachet-Mordell ===
Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type &lt;math&gt;y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites).

Ici nous travaillons pour &lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; (''équation de Bachet'')

Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour &lt;math&gt;k=(3n^2 + 1)_n &lt;/math&gt; , &lt;math&gt;k=(3n^2 -1)_n &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n &lt;/math&gt;

On part de l'identité remarquable :

{{Encadre|contenu=&lt;math&gt;
(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2
&lt;/math&gt;|épaisseur=1px}}

2 possibilités:

1) On pose &lt;math&gt;(a,b)=(1,x-1)&lt;/math&gt;, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube:

{{Encadre|contenu=&lt;math&gt;
\begin{array}{clclcr}
x^3&amp;=&amp;(3x-4)^2&amp;+&amp;(x-1)(x-4)^2 &amp;\quad(E3)\\ 
x^3&amp;=&amp;y^2&amp;+&amp;-k

\end{array}&lt;/math&gt;|épaisseur=1px}}

Voici les solutions pour &lt;math&gt;b=1,2,3,4,5,...&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\begin{array}{rrr}
(E3):&amp;(x,y,k)=
( 1 , 1 , 0 ),
{\color{red}( 2 , 2 , -4 )},
{\color{green}( 3 , 5 , -2 )},
( 4 , 8 , 0 ),
{\color{red}( 5 , 11 , -4 )},
( 6 , 14 , -20 ),
( 7 , 17 , -54 ),
( 8 , 20 , -112 ),
( 9 , 23 , -200 ),~...
\end{array}&lt;/math&gt;

On remarque ici que ce &quot;partage&quot; du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir &lt;math&gt;\color{green}y^2=x^3 -2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\color{red}y^2=x^3 -4&lt;/math&gt;. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré.


2) On change &lt;math&gt;b\rightarrow b^2 &lt;/math&gt;, ce qui donne &lt;math&gt;(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2
&lt;/math&gt;

On a un premier carré. 

On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant &lt;math&gt;(a-3b^2)^ 2=1
&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;a=3b^2 + 1
&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;a=3b^2 - 1
&lt;/math&gt;

{{Encadre|contenu=&lt;math&gt;
\begin{array}{lclclcl}
a=3b^2+1\Rightarrow&amp;(4b^2+1)^3&amp;=&amp;(3b^2+1)&amp;+&amp;\left(b(8b^2+3)\right)^2&amp;\quad(E1)\\
a=3b-1\Rightarrow&amp;(4b^2-1)^3&amp;=&amp;(3b^2-1)&amp;+&amp;\left(b(8b^2-3)\right)^2&amp;\quad(E2)\\
&amp;x^3&amp;=&amp;-k&amp;+&amp;y^2
\end{array}&lt;/math&gt;|épaisseur=1px}}

Ce qui donne comme solutions pour &lt;math&gt;b=1,2,3,4,5,...&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{llrrrrr}
(E1):&amp;(x,y,k)=
\color{red}( 5 , 11 , -4 ),
&amp;( 17 , 70 , -13 ),
&amp;( 37 , 225 , -28 ),
&amp;( 65 , 524 , -49 ),
&amp;(  101 , 1015 , -76),~ ... \\
(E2):&amp;(x,y,k) =
{\color{green}( 3 , 5 , -2 )},
&amp;(  15 , 58 , -11 ),
&amp;(  35 , 207 , -26 ),
&amp;(  63 , 500 , -47 ),
&amp;(  99 , 985 , -74 ),~...
\end{array}&lt;/math&gt;


===[[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Le grand théorème de Fermat]] ===
==== Une remarque presque anodine ====
&lt;math&gt;n&gt;2\Rightarrow z^n \neq  x^n+y^n&lt;/math&gt; : &quot;« ''Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrième puissance, et généralement une puissance quelconque en deux'' ''puissances de même nom au-dessus de la seconde puissance, est une chose impossible, et j’en ai réellement trouvé l’admirable démonstration. La marge trop exiguë ne la contiendrait pas.'' »

C'était un &quot;simple&quot; commentaire à une question du livre de Diophante. Sa date est inconnue. Mais Fermat n'en reparlera jamais. Aucune allusion pendant les 25 ans d'une correspondance très fournie avec ses contemporains. Plus aucune trace. Un mystère total.

==== Rappels historiques ====
Des investigations historiques déjà été faites par de nombreux spécialistes, comme ''Tannery''&lt;ref&gt;https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf&lt;/ref&gt; , ''Itard''&lt;ref&gt;https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767&lt;/ref&gt;, ''Rashed''&lt;ref name=&quot;:3&quot;&gt;https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html&lt;/ref&gt;'','' ''Goldstein''&lt;ref&gt;https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf&lt;/ref&gt; , ''Bachmakova''&lt;ref&gt;{{Article|prénom1=Isabelle|nom1=Bachmakova|titre=Diophante et Fermat|périodique=Revue d'histoire des sciences et de leurs applications|volume=19|numéro=4|date=1966|issn=0048-7996|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/23905707|consulté le=2026-07-23|pages=289–306}}&lt;/ref&gt;. Mais consulter tous ces remarquables travaux ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la correspondance de Fermat&lt;ref&gt;https://archive.org/details/oeuvresdefermat942ferm&lt;/ref&gt;, ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. On peut retenir les jalons suivants:

* Lettre à ''Domini de Sainte-Croix'' en 1636 ou 1637 : Fermat le met &quot;au défi&quot; de trouver des entiers tels que  &lt;math&gt; z^3 =  x^3+y^3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; z^4 =  x^4+y^4&lt;/math&gt;. Il a donc déjà les cas &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; n=4&lt;/math&gt; de son théorème. Le cas &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt; prend probablement sa source à la question &lt;math&gt; a^3+b^3 =  c^3+d^3&lt;/math&gt; du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube&lt;ref&gt;En effet, on tombe rapidement sur la formule &lt;math&gt;b^3\left(b^3+2a^3\right)^3={\color{green}(a^3+b^3)}\left(b^3-a^3\right)^3 + a^3\left(a^3+2b^3\right)^3&lt;/math&gt;. On n'est pas loin du partage d'une cube! Il suffirait juste de trouver un premier cube &lt;math&gt;\color{green}c^3=a^3+b^3&lt;/math&gt; , qui engendrerait à lui seul une infinité d'autres solutions. Mais ce cube somme de 2 cubes, il n'existe pas.&lt;/ref&gt;. Mais c'est impossible. Fermat en fait l'annonce d'une preuve grâce à sa nouvelle technique révolutionnaire appelée &quot;descente infinie&quot;. Malheureusement il n'en laissera aucuns détails pour ce cas précis&lt;ref&gt;On peut penser que Fermat passe par la voie qu'empruntera Euler. A savoir: la réécriture du problème &lt;math&gt;x^3+y^3=(u+v)^3+(u-v)^3=2uf_3(u^2,v^2)=2u(u^2+3v^2)=z^3&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; impairs et donc &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente. Et la stabilité par multiplication des nombres &lt;math&gt;u^2+3v^2&lt;/math&gt;. Ainsi, en supposant &lt;math&gt;z=a^2+3b^2&lt;/math&gt;, on tombe sur &lt;math&gt;u=a(a+3b)(a-3b)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;v=b(a+b)(a-b)&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;2u&lt;/math&gt; est un cube, donc &lt;math&gt;(2a, a-3b, a+3b)=(r^3,s^3,t^3)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;s^3+t^3=r^3&lt;/math&gt;. Puisque ce sont des diviseurs,  &lt;math&gt;|r|&lt;|u|&lt;|z|&lt;/math&gt;. La descente est amorcée. 

Au passage, &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; pourraient donc éventuellement être négatifs, mais Fermat n'avait pas de problèmes avec les nombres négatifs. Il appelait les nombres positifs les nombres &quot;vrais&quot;, mais ne restait pas bloqué sur les négatifs comme ''Bachet .'' (cf ''Rashed).'' Et contrairement à ce qu'on entend souvent, les grecs anciens comme ''Diophante'' non plus: (cf ''Bachmakova'' )&lt;/ref&gt;. C'était coutume à son époque, où il ne fallait pas trop dévoiler ses secrets. D'ailleurs, dans toute sa correspondance, il n'expliquera qu'une seule fois la démarche, au moment de prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée.&lt;ref&gt;cf Rashed (p321) rappelle que cette explication de la  descente à Frenicle sera reprise et même simplifiée en 1676 dans son &quot;''Traité des Triangles rectangles en nombres, dans lequel Plusieurs belles propriétés de ces Triangles sont démontrées par de nouveaux principes&quot;''  Proposition 39.&lt;/ref&gt; Et c'est ce résultat qui implique directement le cas &lt;math&gt; n=4&lt;/math&gt;. Ainsi, les cas &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; n=4&lt;/math&gt;, s'ils se ressemblent par la forme, sont a priori complètement indépendants. Le grand théorème &lt;math&gt; z^n \neq  x^n+y^n&lt;/math&gt; n'arrive donc pas d'un seul bloc.
* Lettre à ''Frenicle'' en avril 1640 : Fermat se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers&lt;ref&gt;''&quot;Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Arithmétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends  quelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que, si longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle.&quot;''&lt;/ref&gt;
* Lettre à ''Mersenne'' de mai 1640 : il veut vérifier si ''Frenicle'' &quot;ne procède point par tables&quot; en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul.

* Lettre à ''Mersenne'' de juin 1640 : il annonce que &lt;math&gt;2^n-1&lt;/math&gt; n'a que des facteurs premiers en &lt;math&gt;1[2n]&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Pour les &lt;math&gt;2^n -1&lt;/math&gt;, Fermat dit avoir trouvé &lt;math&gt;2^{37}-1=137438953471  =  223\times616318177&lt;/math&gt; en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .&lt;/ref&gt;

* Lettre à  ''Frenicle'' d'aout 1640 : il annonce que &lt;math&gt;\dfrac{2^n+1}{3}&lt;/math&gt; n'a que des facteurs premiers en &lt;math&gt;1[2n]&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;:2&quot;&gt;''&quot;Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini.&quot;''&lt;/ref&gt;

* Lettre à ''Frenicle'' d'octobre 1640 : il a élargi &lt;math&gt;2^n&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;a^n&lt;/math&gt;, et annonce son &quot;petit&quot; théorème pour &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier :  &lt;math&gt;\forall a,~ p| (a^{p-1}-1)&lt;/math&gt;[https://arxiv.org/abs/2502.11165]
* Lettre à ''Mersenne'' en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] :  &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier et congrus à &lt;math&gt;1[4]&lt;/math&gt; est unique somme de 2 carrés&lt;ref&gt;Le théorème est énoncé avant par son contemporain [[w:Albert_Girard#Le_th%C3%A9or%C3%A8me_des_deux_carr%C3%A9s|Albert Girard]] . Mais Il est souvent reporté que Fermat ne le connaissais pas. &lt;/ref&gt;. Mais aussi il étend aux &lt;u&gt;puissances&lt;/u&gt; en précisant que &lt;math&gt;(p^{2k-1}, p^{2k})&lt;/math&gt; ont exactement &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; décompositions différentes en somme de 2 carrés.
Il quasiment certain que Fermat a continué son travail sur les puissances. Notamment que &lt;math&gt;\frac{ x^p+y^p}{x+y}&lt;/math&gt;ne contient que des facteurs premiers congrus à &lt;math&gt;1[2p]&lt;/math&gt; 

==== Fermat et les carrés ====
Fermat hérite des questions de ces prédécesseurs autour des carrés et des cubes. Mais Il marque une vraie rupture par rapport à la tradition diophantienne. Il se focalise sur les nombres entiers, là où les autres cherchent des nombres rationnels. Une fois lancé, il continuera de s'intéresser aux combinaisons linéaires de carrés entiers, avec notamment les familles de nombres premiers de la forme &lt;math&gt;a^2+nb^2&lt;/math&gt;, l'équation &lt;math&gt;x^2-ny^2=1&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;:4&quot;&gt;Des solutions rationnelles de &lt;math&gt;x^2-ny^2=1&lt;/math&gt; sont &lt;math&gt;(x,y)=\left(\dfrac{1+nm^2}{1-nm^2}; \dfrac{2m}{1-nm^2}\right), m \in \Q&lt;/math&gt;. En effet, en remarquant que l'équation se réécrit &lt;math&gt;(x+1)(x-1)=ny^2&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;y=m(x+1)&lt;/math&gt; et on se retrouve avec uniquement du 1er degré sur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Par contre, dans &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, c'est une toute autre affaire! Fermat cherchera et dira avoir trouvé, sans autre précision, qu'il y en existe quel que soit &lt;math&gt;n &lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ... Il a également innové dans les méthodes de résolution de systèmes doubles ou triples d'équations &lt;math&gt;a_ix+b_i=y^2&lt;/math&gt; . Plus généralement, il s'intéresse aux techniques d'élimination, où il publie même un papier&lt;ref&gt;https://fr.wikisource.org/wiki/%C5%92uvres_de_Fermat/I/M%C3%A9thode_d%E2%80%99%C3%A9limination&lt;/ref&gt;. Ces méthodes consiste à supprimer des inconnues, et réduire le degré des équations. On renvoie aux explications d'''Erwan Penchevre''&lt;ref&gt;https://images.math.cnrs.fr/wp-content/uploads/2024/02/penchevre-04-elimination.pdf&lt;/ref&gt;. Enfin, il était expert en carrés magiques. Et même des carrés magiques en 3 dimensions, nommés cubes magiques&lt;ref&gt;{{Lien web|titre=MULTIMAGIE.COM - Le cube magique de Fermat, 1640|url=http://multimagie.com/Francais/Fermat.htm|site=multimagie.com|consulté le=2026-07-08}}&lt;/ref&gt;! 

Bref, il y a beaucoup d'indices pour penser que Fermat avait découvert la forme des carrés  &lt;math&gt;  \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2}  &lt;/math&gt;

En effet, pour &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt;, on  &lt;math&gt;(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2&lt;/math&gt;

Soit en partage &lt;math&gt;x^3=(w+x-w)=w(4w-3x)^2 +(x-w)(x-4w)^2 &lt;/math&gt; 

On peut trouver facilement des solutions aux équations du type  &lt;math&gt;x^3=y^2+k&lt;/math&gt; . 

Soit en substituant &lt;math&gt;w^2&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;, ou plus simplement en prenant &lt;math&gt;w=1&lt;/math&gt; 

Or Fermat a travaillé sur les cubiques &lt;math&gt;x^3=y^2+2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;x^3=y^2+4&lt;/math&gt;, dont la formule atteint immédiatement les solutions &lt;math&gt;(3,5)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\{(2,2),(5,11) \}&lt;/math&gt;. Fermat dira avoir réussi à prouver par descente que ce sont les seules.

==== L'idée de Fermat? ====

Je propose ici une hypothèse pour essayer de résoudre non pas la preuve du théorème, mais le mystère autour de cette preuve. Voici donc comment Pierre de Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème, cet éclair &quot;merveilleux&quot; qui semble avoir surgi et dont on ressent la puissance lorsqu'on lit la note du Diophante.

Considérons un entier &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; quelconque tel que &lt;math&gt;w &lt; x&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;w &lt; y&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un premier supérieur ou égal à 5     

Dans &lt;math&gt;z^p=x^p+y^p&lt;/math&gt;, Substituons &lt;math&gt;(w+x',w+y',w+z')&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;(x,y,z)&lt;/math&gt;.

Cela donne:

&lt;math&gt;(w+z')^p=(w+x')^p+(w+y')^p&lt;/math&gt;     

Avec la formule des carrés, cela devient: 

&lt;math&gt;w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;(a,b,c,d,e,f)&lt;/math&gt;  des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à &lt;math&gt;\pm1 [2n]&lt;/math&gt;,

qu'on peut réduire en: 

&lt;math&gt;w\cdot e^2+z'\cdot f^2 =  w\cdot(a^2+c^2)+x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2&lt;/math&gt;     

Ainsi tous les &lt;math&gt;(a,b,c,d,e,f)&lt;/math&gt; ont des facteurs premiers supérieurs à &lt;math&gt;2p-1&lt;/math&gt;, par conséquent '''strictement''' '''supérieurs à 3 et à 5'''.    

Maintenant (et c'est là que c'est un peu fort de café&lt;ref&gt;Si tant est qu'un mathématicien est &quot;une machine à transformer le café en théorèmes&quot; d'après Paul Erdős&lt;/ref&gt;), par &lt;u&gt;identification sur&lt;/u&gt; &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;, on a  &lt;math&gt;e^2=a^2+c^2&lt;/math&gt; . 

D'où une '''contradiction'''! Car on sait que dans les triplets pythagoriciens  &lt;math&gt;r^2=s^2+t^2&lt;/math&gt;, '''3 et 5 divisent forcément le produit''' &lt;math&gt;rst&lt;/math&gt;  

Certes c'est une affirmation hasardeuse. Car de quel droit identifier sur &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; ? Mais sachant que ça s'écrit pour n'importe quel &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;, l'idée n'est-elle pas séduisante? Peut-on construire un système d'équations? Existe-t-il un certain &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; qui fonctionne&lt;ref&gt;Une première idée serait qu'avec &lt;math&gt;wx+b=wy+c &lt;/math&gt;, si on a &lt;math&gt;b&lt;w&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;c&lt;w&lt;/math&gt;, alors là on peut identifier  &lt;math&gt;x=y&lt;/math&gt;. Pour cela, il faudrait &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; grand, éventuellement en considérant la limite à l'infini? Mais cela ne semble pas fonctionner, car les carrés sont toujours plus grand que les &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Une seconde idée serait de prendre &lt;math&gt;w \in \C&lt;/math&gt; . Pour &lt;math&gt;n=5&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x^5=w(16w^2+5x^2-20wx )^2+(x-w)(16w^2+x^2-12wx)^2&lt;/math&gt;Le premier carré donne une valeur réelle pour &lt;math&gt;w=5x/8+b i, b \in \R&lt;/math&gt; et le deuxième carré pour &lt;math&gt;w=3x/8+b i, b \in \R&lt;/math&gt;. Il n'y a donc pas de recouvrement possible. De plus, cette valeur est commune et vaut &lt;math&gt;-5x^2/4-16b^2&lt;/math&gt;. Qui n'a aucune propriété concernant les facteurs premiers en &lt;math&gt;\pm1 [10]&lt;/math&gt; .  ça ne fonctionne pas&lt;/ref&gt;? Et si Fermat était passé par cette voie si tentante? 

==== Plausibilité historique ====

Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez intéressante du point de vue historique :

- Si ça &quot;fonctionne&quot; pour &lt;math&gt;p \ge 5&lt;/math&gt; , cela ne s'applique pas aux cas &lt;math&gt;n =4&lt;/math&gt; car il faut que &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; soit premier impair. Et pour le cas &lt;math&gt;p =3&lt;/math&gt; , la formule des carrés engendre des facteurs premiers en &lt;math&gt;\pm1 [6]&lt;/math&gt;. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre technique. En l’occurrence la nouvelle descente infinie inventée par Fermat lui-même! Les cas &lt;math&gt;n =3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n =4&lt;/math&gt; restent particuliers. C'étaient les premiers prouvées par Fermat, et il ne se font pas englobés. Chronologiquement, ça se tient.

- C'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela &quot;admirable&quot;. Et il n'y pas de différenciation de cas  &lt;math&gt;p\mid xyz&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;p \nmid xyz&lt;/math&gt; 

- Avec du recul, Fermat a pu se dire que finalement ça ne marcherait pas. C'est l'hypothèse de l'historien ''Jean Itard,'' afin de justifier que Fermat ne citera plus jamais le cas général à ses correspondants. J'en doute car il était honnête homme. Il n'aurait pas laissé la remarque dans le Diophante. Alors n'était-ce juste simplement pas important? Rappelons que le bébé de Fermat, c'est la descente infinie. On le voit bien dans ses lettres. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à ''Wallis'', ''Digby'', ou ''Carcavi'', il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres sont presque laissé au second plan.

- La descente infinie est très compliquée pour &lt;math&gt;n = 5&lt;/math&gt;. Fermat n'a pas pu y arriver, Dirichlet et Legendre en venant à bout en 1825&lt;ref&gt;En appliquant la même technique que pour le cas &lt;math&gt;n=3&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;(u+v)^5+(u-v)^5=2u\left( (u^2+5v^2)^2-5(2v^2)^2 \right) &lt;/math&gt;. L'accroche ici est qu'on retrouve une forme &lt;math&gt;X^2-5Y^2&lt;/math&gt; , stable par multiplication. Ç’aurait pu interpeler Fermat, c'est comme &lt;math&gt;X^2+3Y^2&lt;/math&gt; dans le cas &lt;math&gt;n=3&lt;/math&gt;. Malheureusement ça ne marche plus aussi simplement car on n'obtient pas une expression factorisée de &lt;math&gt;2u&lt;/math&gt;. Voir la démonstration de ''Dirichlet/Legendre'' pour constater les nombreuses difficultés à surmonter.&lt;/ref&gt;. Pire, la technique devient inopérante pour les exposants supérieurs&lt;ref name=&quot;:5&quot;&gt;''Yves Hellegouarch'' dans son livre &quot;''Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles''&quot;, écrit page 38: &quot;''On peut penser que pour les exposants''  ''premiers impairs, Fermat associait à son équation la forme quadratique'' &lt;math&gt;X^2+(-1)^{(p+1)/2}pY^2&lt;/math&gt; . C'est un résultat juste. Mais peut-être anachronique. En effet, cf [https://math.stackexchange.com/questions/5144009/fermat-hellegouarch-sum-of-powers-quadratic-forms maths.stackechange]  pour les calculs qui s'avèrent être fastidieux.&lt;/ref&gt;. Or on sait que Fermat a toujours été suffisamment honnête pour avouer à ses correspondants qu'il n'arrivait pas (encore) à démontrer un résultat. Or Jamais il ne fera mention d'un essai pour des puissances supérieures. Non. Ici avec la formule des carrés, il n'y a pas besoin de descente infinie!

==== Objection? ====
Malheureusement un tout autre scenario est envisageable. Dans l'hypothèse précédente, il faut supposer que Fermat a écrit son commentaire bien après sa première lecture de la question de Diophante. Ou qu'il l'a écrit pour les cas &lt;math&gt;n =3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n =4&lt;/math&gt; , puis qu'il a complété son commentaire une fois son travail sur les puissances effectué. Qu'il y serait donc revenu quelques années après. Ça paraît étrange.

Car vu le ton employé, on peut aussi avoir l'impression que cela est venu d'un bloc, avec toutes les puissances sans distinction de cas, sans séparation entre les cas &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt;, ou &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; premier. Autrement dit, on peut supposer qu'il sait immédiatement, en s'appuyant sur des travaux antérieurs&lt;ref&gt;Fermat a déjà fait énormément de mathématiques avant de s'attaquer à l'arithmétique. D'ailleurs dans sa première lettre à Mersen en 1936, il dit: &quot;''Je serai aussi bien aise d'apprendre par votre moyen tous les Traités ou Livres nouveaux de Mathématiques qui ont paru depuis cinq ou six ans.''&quot; Comme s'il avait dû faire une pause de quelques années. On imagine à cause de son métier très prenant.&lt;/ref&gt;, que le problème est impossible dans &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; , puisque c'est implicite chez Diophante: on cherche comment diviser un carré en somme de 2 carrés '''&lt;u&gt;rationnels&lt;/u&gt;'''. Ainsi Fermat affirmerait haut et fort dans son commentaire que  &lt;math&gt;x^n+y^n=z^n&lt;/math&gt; n'a pas de solution dans &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt;. Ce qui fatalement rend le problème impossible dans &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ! Ce serait ensuite que Fermat essaie de le montrer dans &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, avec des raisonnements spécifiques aux nombres entiers, comme la descente infinie. Il le dit dans ses lettres. Il a eu beaucoup de difficulté à appliquer la technique pour le cas &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt;. Mais il s'est accroché et ça n'était pas pour rien. Car il savait que le résultat était vrai. 

Pour finir, rappelons ici les relations que nous redonnons au chapitre &quot;'''Propriétés algébriques&quot;'''. La factorisation &quot;maximale&quot; dans &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; est:    

&lt;math&gt;(x+y)^p-(x^p+y^p)=pxy(x+y)(x^2+xy+y^2)^kQ(x,y)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;k=1 \text{ pour } p\equiv -1[6], k=2 \text{ pour } p\equiv 1[6]&lt;/math&gt; .     

Fermat aurait pu arriver à ce résultat par le calcul. Et si &lt;math&gt;x^p+y^p=z^p&lt;/math&gt;, alors on se retrouve à gauche avec une différence de puissance, donc à droite obligatoirement des facteurs premiers en &lt;math&gt;1[2p]&lt;/math&gt; sur&lt;math&gt;Q(x,y)&lt;/math&gt;. Mais il n'y a plus de régularité sur les  &lt;math&gt;Q(x,y)&lt;/math&gt;. Leur expression devient imprédictible au fur et à mesure que l'exposant grandit. Donc sans vraiment de généralisation possible à toutes les puissances.    

== '''Postface''' ==
Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du  [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai&lt;ref&gt;il existe des suites des couples  &lt;math&gt;(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;  dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour &lt;math&gt;n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 &lt;/math&gt; cf &quot;[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?&quot;]&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;La suite de Perrin &lt;math&gt;(P_n)&lt;/math&gt; est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est  &quot;si ''n'' divise &lt;math&gt;P_n&lt;/math&gt; alors ''n'' est un nombre premier&quot;. le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour &lt;math&gt;n=271441=521^2&lt;/math&gt; . Le nombre &lt;math&gt;P_{271441}&lt;/math&gt; a 33150 chiffres!!&lt;/ref&gt;! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés&lt;ref name=&quot;:1&quot;&gt;{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}&lt;/ref&gt;. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés&lt;ref&gt;&lt;math&gt;h&lt;/math&gt; l’hypoténuse et &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; un côté. L'astuce revient à poser &lt;math&gt;h^2=c^2+(h-\alpha c)^2&lt;/math&gt; afin que les &lt;math&gt;h^2&lt;/math&gt; disparaissent. Ici &lt;math&gt;\alpha \in \mathbb{Q}&lt;/math&gt; un paramètre. Ce qui donne après développement &lt;math&gt;c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h&lt;/math&gt; . Et l'autre côté &lt;math&gt;\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h&lt;/math&gt; . Ici il faut &lt;math&gt;\alpha &gt; 1&lt;/math&gt; pour rester avec des valeurs &quot;positives&quot; et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse &lt;math&gt;\alpha \rightarrow \alpha^{-1}&lt;/math&gt; qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant &lt;math&gt;\alpha \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, on obtient une infinité de solutions.&lt;/ref&gt;. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''&quot;aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''&quot;. Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique&lt;ref&gt;La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant &lt;math&gt;h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 &lt;/math&gt;, on arrive à &lt;math&gt;(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0&lt;/math&gt; . Soit un polynôme du second degré en &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)&lt;/math&gt; .  Avec &lt;math&gt;\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}&lt;/math&gt;, on arrive à &lt;math&gt;\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)&lt;/math&gt; . Or l'équation diophantienne &lt;math&gt;3p(4q^3-p ^3)=d^2&lt;/math&gt; est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!&lt;/ref&gt; ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue &quot;''marge trop petite''&quot; est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes&lt;ref&gt;{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}&lt;/ref&gt;? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}&lt;/ref&gt;? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve&lt;ref&gt;lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&amp;oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}&lt;/ref&gt;. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant &quot;''toutes les puissances''&quot;&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;Fermat est en en fait &quot;tombé&quot; sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, &quot;&lt;math&gt;x^p+y^p=z^p&lt;/math&gt; ''sans solution pour''  &lt;math&gt;p&gt;2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(x,y,z) \in \mathbb{N}^3&lt;/math&gt;&quot;, n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,&quot;(''Tidjman et Zagier'') : &lt;math&gt;x^p+y^q=z^r&lt;/math&gt;''sans solution pour'' &lt;math&gt;(p,q,r)&lt;/math&gt; ''&lt;u&gt;tous supérieur à 2&lt;/u&gt; et &lt;math&gt;(x,y,z) \in \mathbb{N}^3&lt;/math&gt; premiers entre eux.&quot;.'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''&lt;u&gt;aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré&lt;/u&gt;''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.&lt;/ref&gt;? . On rappelle qu'il n'y avait point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Lui qui se disait le plus paresseux des hommes. Mais il les dévoilait peu dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps.

Ici nous avons essayé de reprendre Fermat &quot;au mot&quot;. Que signifie &quot;''partager une puissance''&quot;? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat.


== '''Remerciements''' ==
Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations)

Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ScratchingTheSurface , Thomas Andrews et Mastrem pour les démonstrations)

Merci à Yohann C. pour son aide et ses relectures

Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE]

Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres

Merci à Wikiversité


----&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --&gt;</text>
      <sha1>rouacyqsm7y4l5jgvo19ie9sndi0q01</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>985729</id>
      <parentid>985727</parentid>
      <timestamp>2026-08-12T16:37:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alain.fabo</username>
        <id>73895</id>
      </contributor>
      <comment>/* Le grand théorème de Fermat */ ajout du chapitre Factorisation de (x+y)ᵖ-(xᵖ+yᵖ) pour indiquer une éventuelle fausse piste</comment>
      <origin>985729</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="65262" sha1="g4v34ysblgkhbb4x5yf1b0dtl44516u" xml:space="preserve">&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --&gt;
On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : &lt;math&gt;(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}&lt;/math&gt;.

== '''Résumé''' ==
Cet article présente, pour &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; &lt;u&gt;un entier positif impair&lt;/u&gt;, la remarquable forme &lt;math&gt;  \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2}  &lt;/math&gt;. Son &lt;u&gt;existence&lt;/u&gt; se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en &lt;math&gt;(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b &lt;/math&gt;. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients &lt;math&gt; (a,b,c,d)&lt;/math&gt;, nous étudions quelques propriétés dans &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;. D'abord, avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que &lt;math&gt;(a,b) &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(c,d) &lt;/math&gt; sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a &lt;u&gt;unicité&lt;/u&gt; des &lt;math&gt; (c,d)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;x+y=p&lt;/math&gt;  &lt;u&gt;premier&lt;/u&gt;. Enfin, si l'&lt;u&gt;exposant n est premier&lt;/u&gt;, alors les &lt;u&gt;facteurs premiers&lt;/u&gt; de &lt;math&gt; (a,b)&lt;/math&gt; sont congrus à &lt;math&gt; 1[2n]&lt;/math&gt; , et ceux de &lt;math&gt; (c,d)&lt;/math&gt; à '''&lt;math&gt; \pm 1[2n]&lt;/math&gt;'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'&lt;u&gt;exposant n pair&lt;/u&gt;, où nous trouvons que pour &lt;math&gt;x+y=p&lt;/math&gt; &lt;u&gt;premier&lt;/u&gt;, la forme&lt;math&gt;  (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2  &lt;/math&gt; existe seulement pour &lt;math&gt; x=1 &lt;/math&gt; ou &lt;math&gt; y=1 &lt;/math&gt;. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème.

== '''Introduction''' ==
Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme &lt;math&gt;  (x+y) ^n &lt;/math&gt;, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''&lt;math&gt; (x,y)&lt;/math&gt;''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que &lt;math&gt;  (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 &lt;/math&gt; .

Ces expressions utilisent les mêmes fonctions &lt;math&gt;f_n(x,y)&lt;/math&gt; suivantes :
{{définition|contenu=
&lt;math&gt;
\begin{array}{ll}
n=2m+1 \\
&amp;f_n(x,y) &amp;=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\
&amp;&amp;=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k
\end{array}
&lt;/math&gt;}}'''Exemple''':

&lt;math&gt;\quad 
\begin{array}{lll}
f_3(x,y)=x+3y \\
f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\
f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\
f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\
\end{array}
&lt;/math&gt;

== '''Propriétés algébriques''' ==
Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif

=== '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' ===
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; 
 (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1)
&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme :

&lt;math&gt;
(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k
= \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1}
&lt;/math&gt;

soit
&lt;math&gt;
(x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k}
&lt;/math&gt;

En posant
&lt;math&gt; 
k'=m-k
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'}
&lt;/math&gt;


D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}}

=== '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' ===
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt;
(x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés}
&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : 
&lt;math&gt;
(x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2)
&lt;/math&gt;

En prenant &lt;math&gt;-y&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;
(x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2)
&lt;/math&gt;

En multipliant les deux dernières expressions :
&lt;math&gt;
(x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2
&lt;/math&gt;

D'où la formule en substituant &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;(x^2,y^2)&lt;/math&gt;}}'''Exemples''' 

&lt;math&gt;\begin{array}{l}
(x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\
(x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\
\\
(x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\
(x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 
\end{array}&lt;/math&gt;

=== '''xⁿ+yⁿ''' ===
{{Propriété|titre=Propriétés|contenu=&lt;math&gt;\quad 
\begin{array}{rll}
(x+y)^n+(x-y)^n&amp;=2xf_n(x^2,y^2)&amp;\quad(3)\\
\\
\dfrac{x^n+y^n}{x+y}&amp;= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &amp;\quad(3bis)\\
\\
f_n(x^2,y^2)&amp;=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&amp;\quad(4) \\
\end{array}
&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1)

(3bis) : Par changement de variable &lt;math&gt;(x+y,x-y)=(u,v) &lt;/math&gt; soit  &lt;math&gt;(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)&lt;/math&gt;

Ensuite la définition donne la propriété &lt;math&gt;f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m&lt;/math&gt;

Soit ici avec des carrés &lt;math&gt;f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}&lt;/math&gt;

(4) : En identifiant avec l'identité remarquable
&lt;math&gt;u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j&lt;/math&gt;|titre=Démonstration}} 

=== '''xᵖ+yᵖ, p premier''' ===
On pourra rappeler ici le résultat de Gauss qui relie la somme de puissance, et donc &lt;math&gt;f_p(x^2,y^2)&lt;/math&gt; avec les formes quadratiques:{{Propriété|titre=Théorème|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier, &lt;math&gt;\quad 
\dfrac{x^p+y^p}{x+y}=X^2 + (-1)^{\frac{p+1}2} pY^2 \quad \quad \text{: formule de Gauss}
&lt;/math&gt;

Ce qui est équivalent : &lt;math&gt;f_p(u^2,v^2)=\dfrac{(u+v)^p+(u-v)^p}{2u}=\left( X^2+(-1)^{\frac{p+1}2}pY^2 \right) &lt;/math&gt;}}

Le calcul des carrés n'est pas simple&lt;ref name=&quot;:5&quot; /&gt;.C'est plus simple en faisant un changement de variable

'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{llll}
(u+v)^3+(u-v)^3&amp;=2u\left( X^2+3Y^2 \right)&amp; \quad X,Y=u,v\\
(u+v)^5+(u-v)^5&amp;=2u\left( X^2-5Y^2 \right)&amp; \quad X,Y=u^2+5v^2, 2v^2 \\
(u+v)^7+(u-v)^7&amp;= 2u\left(X^2 + 7Y^2\right)&amp; \quad X,Y=u(u^2 + 7 v^2), v(u^2 - v^2)\\
(u + v)^{11} + (u - v)^{11} &amp;= 2 u (X^2+11Y^2)&amp; \quad X,Y=u(u^4 - 22 u^2 v^2 - 11 v^4), v(3 u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4)
\end{array}&lt;/math&gt;


Nous pouvons observer la régularité suivante:

{{Propriété|titre=Proposition|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier,  &lt;math&gt;\dfrac{(u+v)^p+(u-v)^p}{2u}=\left( X^2+(-1)^{\frac{p+1}2}pY^2 \right) &lt;/math&gt;

Alors &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; divise toujours &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; divise X pour &lt;math&gt;p=3[4]&lt;/math&gt;}}

Par contre, contrairement aux formules (1) et (2), nous n'avons pas trouvé de régularité sur les facteurs premiers des X ou des Y.

C'est ce que nous allons voir dans le chapitre suivant en étudiant les propriétés dans &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;

=== '''(x+y)ᵖ-(xᵖ+yᵖ)''' ===
Afin d'être complet, nous rappelons aussi la factorisation de &lt;math&gt;(x+y)^p-(x^p+y^p), p\in \mathbb{P}&lt;/math&gt;
{{Propriété|titre=Théorème|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier plus grand que 5:

&lt;math&gt;(x+y)^p-(x^p+y^p)=pxy(x+y)(x^2+xy+y^2)^kQ(x,y) &lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;k=1&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;p \equiv -1[6]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k=2&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;p \equiv 1[6]&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=La divisibilité par p vient du petit théorème de Fermat. 

Celle par xy en factorisant le binôme. 

Celle par x+y vient de la factorisation de &lt;math&gt;x^p+y^p&lt;/math&gt; par  &lt;math&gt;x+y&lt;/math&gt;.

Celle par &lt;math&gt;x^2+xy+y^2&lt;/math&gt; vient en prenant y=1. On obtient alors le polynôme &lt;math&gt;X^2+X+1&lt;/math&gt; qui a pour racine &lt;math&gt;w=e^{2i\pi /3}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;w^2&lt;/math&gt;. Et qui donne donc la relation &lt;math&gt;1+w=-w^2&lt;/math&gt;
On vérifie que ces racines ce sont aussi celles de &lt;math&gt;(X+1)^p-(X^p+1)&lt;/math&gt;.

Pour la multiplicité k, on vérifie sur &lt;math&gt;P'(X)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; P''(X)&lt;/math&gt;}}'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
(x+y)^3-(x^3+y^3)&amp;= 3x y (x + y)\\
(x+y)^5-(x^5+y^5)&amp;= 5x y (x + y) (x^2 + x y + y^2)\\
(x+y)^7-(x^7+y^7)&amp;=7xy (x + y) (x^2 + x y + y^2)^2 \\
(x+y)^{11}-(x^{11}+y^{11})&amp;=11xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})&amp;(x^{6} + 3 x^{5}  y + 7 x^{4} y^{2} + 9 x^{3} y^{3} + \text{symétrique}) \\
(x+y)^{13}-(x^{13}+y^{13})&amp;=13xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})^{2}&amp; (x^{6} + 3  x^{5}  y + 8  x^{4}  y^{2} + 11  x^{3}  y^{3} +\text{sym})\\
(x+y)^{17}-(x^{17}+y^{17})&amp;=17xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2}) &amp; (x^{12} + 6  x^{11}  y + 26  x^{10}  y^{2} + 75  x^{9}  y^{3} + 156  x^{8}  y^{4} + 240  x^{7}  y^{5} + 277  x^{6}  y^{6} + \text{sym} )\\
(x+y)^{19}-(x^{19}+y^{19})&amp;=19xy(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})^{2}&amp; (x^{12} + 6  x^{11}  y + 28  x^{10}  y^{2} + 85  x^{9}  y^{3} + 184  x^{8} y^{4} + 292  x^{7}  y^{5} + 341  x^{6}  y^{6} + \text{sym})\\
...
\end{array}&lt;/math&gt;

== '''Propriétés dans ℤ''' ==
On supposera dans la suite &lt;math&gt;(u,v) \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; copremiers

=== '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' ===
La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers

'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
17^3&amp;= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &amp;+ 12\times 3^2&amp;=5\times (31)^2 &amp;+ 12\times (3)^2\\
17^5&amp;= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &amp;+ 12\times 331^2&amp;=5\times (5\cdot29)^2 &amp;+ 12\times (331)^2\\
17^7&amp;= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&amp;+ 12\times 3767^2&amp;=5\times (6929)^2&amp;+ 12\times (3767)^2\\
17^9&amp;=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&amp;+ 12\times 42921^2 &amp;=5\times (31\cdot4481)^2&amp;+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\
...
\end{array}&lt;/math&gt;

Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre 

=== Parité et 2-valuation ===
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u, v)&lt;/math&gt; de parité différente &lt;math&gt; \Rightarrow f_n(u,v)&lt;/math&gt; impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; de parité différente:

Par définition &lt;math&gt;f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)&lt;/math&gt; . 
n étant impair, alors &lt;math&gt;f_n(u,v)&lt;/math&gt; est impair|titre=Démonstration}}
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u, v)&lt;/math&gt; impairs ou de parité différente, alors &lt;math&gt; \dfrac{u^n+v^n}{u+v}&lt;/math&gt;  impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; de parité différente, on a un quotient de 2 impairs

si  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; impairs,&lt;math&gt; (u,v)=(a+b,a-b)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; de parité différente. 

Or (3) donne  &lt;math&gt;\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)&lt;/math&gt;, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}}
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u, v)&lt;/math&gt; impairs&lt;math&gt; \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt;  impairs, on peut toujours changer de variable:  

&lt;math&gt;(u,v)=(x+y,x-y) &lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; de parité différente. 

D'après (4bis), &lt;math&gt;f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j&lt;/math&gt;

Or &lt;math&gt;\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)&lt;/math&gt; est impair avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; de parité différente


Ce qui implique que &lt;math&gt; f_n(u^2,v^2)&lt;/math&gt;  a nécessairement une 2-valuation de &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;|titre=Démonstration}}
=== '''Coprimalité''' ===
Nous considérerons dans la suite &lt;math&gt;(u,v) &lt;/math&gt; copremiers &lt;u&gt;de parité différente&lt;/u&gt;{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; (u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente
&lt;math&gt;
 \Rightarrow\begin{cases}
f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &amp;(5) \\
n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &amp;(6)\\
\end{cases}
&lt;/math&gt;|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si &lt;math&gt;u,v &lt;/math&gt; de parités différentes alors &lt;math&gt;f(v,u) &lt;/math&gt; sont impairs.   

Considérons &lt;math&gt;p &lt;/math&gt; un diviseur premier impair commun. On a donc &lt;math&gt;f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv  0 ~[p] &lt;/math&gt; . La forme  (2) implique &lt;math&gt;u \equiv v ~[p] &lt;/math&gt;

En réinjectant dans la définition de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, on obtient: 

&lt;math&gt;f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m  (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] &lt;/math&gt;

Par conséquent &lt;math&gt;f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] &lt;/math&gt;. Même résultat pour &lt;math&gt;v &lt;/math&gt;.

Ainsi tout diviseur premier commun à  &lt;math&gt;f(u,v) &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f(v,u) &lt;/math&gt; divise aussi &lt;math&gt;u &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;v &lt;/math&gt;.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' &lt;math&gt;f(u,v)=nv^m +uP(u,v) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;P &lt;/math&gt; un polynôme .

Avec &lt;math&gt; u \wedge nv^m =1 &lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt; u \wedge f(u,v)=1 &lt;/math&gt;, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|&lt;math&gt;f_n(u,v)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f_n(u^2,v^2)&lt;/math&gt; ne sont pas forcément premiers entre eux!

&lt;math&gt;
\begin{array}{ll}
f_{11}(29,18)&amp;=  6117463571&amp;= 23 \times 109 \times 2440153\\
f_{11}(29^2,18^2)&amp;=42623439661994533 &amp;= 23 \times 67 \times 27659597444513
\end{array}
&lt;/math&gt;}}


=== '''Puissance n première''' ===
Ici on considérera &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; &lt;u&gt;premier impair&lt;/u&gt;

==== n-valuation  ====
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; n&lt;/math&gt; premier impair, &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente.

&lt;math&gt;
\Rightarrow
\begin{cases}
n\nmid u \Rightarrow n\nmid  f_n(u,v) \\
n\mid   u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &amp;(7)
\end{cases}
&lt;/math&gt;|titre=Proposition}}'''Exemples''':

&lt;math&gt;\begin{array}{l}
(u,v)= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\
f_{3} (u,v)=23\times 1867 \\
f_{\color{red}5}  (u,v)= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\
f_{\color{green}7}  (u,v)= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\
f_{11} (u,v)=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019
\end{array}&lt;/math&gt;{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est premier, &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; divise tous les coefficients binomiaux.

Si &lt;math&gt;n \ge 5&lt;/math&gt; , on peut écrire  &lt;math&gt;\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;P &lt;/math&gt; polynôme.|titre=Démonstration}}


==== Facteurs premiers modulo 2n ====
{{Proposition|contenu=&lt;math&gt; n&lt;/math&gt; premier impair, &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente, &lt;math&gt;n\nmid u&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
f_n(u,v)&amp;=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&amp;(8) \\ 
f_n(u^2,v)&amp;=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&amp;(9) \\ f_n(u^2,v^2)&amp;=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &amp;(10)
\end{cases}
&lt;/math&gt;|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}&lt;/ref&gt; : &quot;''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn&quot;'' 

En résumé, d'après (3bis) : &lt;math&gt;2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) &lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;p \neq n&lt;/math&gt; un diviseur premier impair de &lt;math&gt;\dfrac{x^n+y^n}{x+y}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x^n+y^n \equiv 0[p]&lt;/math&gt;   donne    &lt;math&gt;\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]&lt;/math&gt;,      soit &lt;math&gt;\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]&lt;/math&gt;

D'après le petit théorème de Fermat &lt;math&gt;\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]&lt;/math&gt;

Donc  &lt;math&gt;p-1\mid 2n&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;p \equiv 1 [2n]&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}&lt;/ref&gt; : &quot;''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''&quot;

L'idée est d'utiliser la relation sous la forme:

&lt;math&gt;
(\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x)
&lt;/math&gt; et de travailler dans &lt;math&gt;\mathbb{Z/n^2 Z}&lt;/math&gt;}}

==== Exemples ====
&lt;math&gt;f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]&lt;/math&gt; : Les facteurs premiers tous congrus à &lt;math&gt;\pm 1[2n]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
f_{ 5 }( 6 , 11 ) &amp;=1301 &amp;\equiv1&amp;[ 10 ] \\
f_{ 7 }( 6 , 11 ) &amp;=181\times239 &amp;\equiv-1\times1 &amp;[ 14 ] \\ 
f_{ 11 }( 6 , 11 ) &amp;=47820079 &amp;\equiv1&amp;[ 22 ] \\
f_{ 13 }( 6 , 11 ) &amp;=8969\times177269 &amp;\equiv-1\times1 &amp;[ 26 ] \\ 
f_{ 19 }( 6 , 11 ) &amp;=151\times386989747169 &amp;\equiv-1\times-1 &amp;[ 38 ] \\ 
f_{ 23 }( 6 , 11 ) &amp;=5278223\times12238317893 &amp;\equiv-1\times-1 &amp;[ 46 ] \\ 
f_{ 29 }( 6 , 11 ) &amp;=233\times521\times1309699\times14932891583 &amp;\equiv1\times-1\times1\times-1 &amp;[ 58 ] \\
...
\end{array}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;f_n(u^2,v)\equiv  1[2n]&lt;/math&gt; : Le nombre de facteurs en &lt;math&gt;-1[2n]&lt;/math&gt; est pair.

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=5861 &amp;\equiv1&amp;[ 10 ] \\
f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=507809 &amp;\equiv1&amp;[ 14 ] \\
f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=89\times6029\times7129 &amp;\equiv1\times1\times1 &amp;[ 22 ] \\ 
f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=883\times2341\times160627 &amp;\equiv-1\times1\times-1 &amp;[ 26 ] \\ 
f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &amp;=67\times187067\times199591969 &amp;\equiv-1\times-1\times1 &amp;[ 34 ] \\ 
f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &amp;=229\times683\times1901\times2963\times246469 &amp;\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &amp;[ 38 ] \\ 
f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&amp;=367 \times 4457595074737380607  &amp;\equiv-1\times-1 &amp;[ 46 ] \\ 
f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&amp;=1069838719517673460520580221 &amp;\equiv1&amp;[ 58 ] \\
...
\end{array} 
&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;f_n(u^2,v^2)\equiv  1[2n] &lt;/math&gt; : Les facteurs premiers tous congrus à &lt;math&gt;1[2n]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{lll} 
f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 118061 &amp;\equiv1&amp;[ 10 ] \\
f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 34188379 &amp;\equiv1&amp;[ 14 ] \\
f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 23\times89\times2377\times586961 &amp;\equiv1\times1\times1\times1 &amp;[ 22 ] \\ 
f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 30187\times27342279823 &amp;\equiv1\times1 &amp;[ 26 ] \\ 
f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;= 2129\times3079\times3039225397425209 &amp;\equiv1\times1\times1 &amp;[ 38 ] \\ 
f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;=1663964075070633572800332299&amp;\equiv1&amp;[ 46 ]  \\
f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &amp;=59\times11250493\times60508154689065340703592763&amp;\equiv1\times1\times1 &amp;[ 58 ]  \\
...
\end{array}
&lt;/math&gt;

=== Unicité ===

==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ====
Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles  &lt;math&gt;(u+v)^n=u.a+v.b &lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;(u,v) &lt;/math&gt; premiers entre eux de parité différente, et &lt;math&gt; (a,b)&lt;/math&gt; n'ayant que des facteurs premiers en '''&lt;math&gt;1[2n] &lt;/math&gt;'''. Nous considérons aussi le cas  &lt;math&gt;n|u&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;v_n(a)=2&lt;/math&gt;. 

L'exemple '''&lt;math&gt;z=7^5 &lt;/math&gt;''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie:  

{{Exemple déroulant|contenu=&lt;math&gt; 
\begin{array}{lll}  
7^5&amp;= 1 \times( 61 )&amp;+ 6 \times( 2791)\\
&amp;= 1 \times( 241 )&amp;+ 6 \times( 11\times251)\\

&amp;...\\
&amp;= 1 \times( 6481 )&amp;+ 6 \times( 1721)\\
&amp;= 3 \times( 31\times71 )&amp;+ 4 \times( 2551)\\
        &amp; =\color{blue}1\times  (6841) &amp;+\color{blue}6\times(11\times151)\\ 
&amp;= 3\times(2441) &amp;+ 4\times(2371)\\
&amp;= 1\times(11\times11\times61) &amp;+ 6\times(1571)\\
&amp;...\\
&amp;= 1\times(8161) &amp;+ 6\times(11\times131)\\
&amp;= 3\times(11\times251) &amp;+ 4\times(2131)\\
&amp;              =\color{red}   3\times(2801) &amp;+ \color{red}  4\times(11\times191)\\

&amp;= 1\times (8521) &amp;+ 6\times(1381)\\
 &amp;\color{green}            = 5\times(5\times11\times31) &amp;+ \color{green}2\times(41\times101)\\
&amp;= 1\times(8641) &amp;+ 6\times(1361)\\
&amp;... \\
&amp;= 5 \times( 5\times401 )&amp;+ 2 \times( 3391)\\
&amp;= 5 \times( 5\times521 )&amp;+ 2 \times( 31\times61)\\
&amp;... \\
&amp;=1 \times (16741) &amp;+ 6 \times( 11)
\end{array}
&lt;/math&gt;|titre=Exemple des 114 occurrences pour &lt;math&gt;7^5&lt;/math&gt;}}

Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint &quot;uniquement&quot; :

&lt;math&gt;\begin{array}{lll} 
7^5&amp;=\color{blue}1\times (6841)&amp;+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\
&amp;=\color{red}3 \times (2801)&amp;+ \color{red}4\times (11 \times  191)\\
&amp;=\color{green}5 \times (5\times  11\times  31)&amp;+\color{green}2\times (41\times  101) \\
\end{array} &lt;/math&gt;

Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en &lt;math&gt;\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{green}5a+2b&lt;/math&gt;

'''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? 


'''Remarque''': 

Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des  '''&lt;math&gt;-1[2n] &lt;/math&gt;'''. 

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
7^5&amp;=1 \times (11^2)^2&amp;+ 6\times (19)^2\\
&amp;=3 \times (31\times19)^2&amp;+ 4\times (59)^2\\
&amp;=5 \times (5\times  11)^2&amp;+2\times (29)^2 \\
\end{array} &lt;/math&gt;

Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''&lt;math&gt;1[2n] &lt;/math&gt;'''.Par exemple:

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
9^5&amp;=1 \times (241)^2&amp;+ 8\times (11)^2\\
15^5&amp;=7 \times (191)^2&amp;+ 8\times (251)^2\\\\
\end{array} &lt;/math&gt;

==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ====
Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique

{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier impair.
Alors pour tout couple &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; d'entiers strictement positifs tels que &lt;math&gt;p=u+v&lt;/math&gt; et pour tout entier impair &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; il existe un unique couple &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que &lt;math&gt;p^n=uc^2+vd^2&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: 
&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}&lt;/ref&gt;


Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths:

Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que &lt;math&gt; p=a+b&lt;/math&gt; . On suppose &lt;math&gt;p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;u,v&lt;/math&gt; premiers entre eux ainsi que &lt;math&gt;x,y&lt;/math&gt;.
En combinant les égalités on obtient &lt;math&gt;p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;p^n&lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;(uy-vx)(uy+vx)&lt;/math&gt;.

On montre assez facilement que &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ne peut pas diviser simultanément &lt;math&gt;uy-vx&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;uy+vx&lt;/math&gt; et on en déduit que &lt;math&gt;p^n&lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;uy-\varepsilon vx&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\varepsilon=\pm1&lt;/math&gt;.

Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de &lt;math&gt;p^n&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2&lt;/math&gt;.

On en déduit &lt;math&gt;uy=\varepsilon vx&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;u=x&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;v=y&lt;/math&gt;}}'''Exemples''':

les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique 

&lt;math&gt;\begin{align}
3^3&amp;= 1 \cdot 5 ^2    &amp;+&amp; 2 \cdot 1 ^2
\\
5^3&amp;= 1 \cdot 11 ^2   &amp;+&amp; 4 \cdot 1 ^2\\
&amp;= 3 \cdot 3 ^2    &amp;+&amp; 2 \cdot 7 ^2\\
\\
15^3&amp;= 1 \cdot 41 ^2&amp;+ &amp;14 \cdot 11 ^2 \\
&amp;=7 \cdot 17 ^2&amp;+&amp; 8 \cdot 13 ^2 \\
&amp;={\color{red}11} \cdot 1^2   &amp;+&amp; {\color{red}4} \cdot 29 ^2 
    &amp;= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot  7^2  \\
 &amp;= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&amp;+&amp; {\color{green}2} \cdot 37 ^2 
 &amp;= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 
\end{align}&lt;/math&gt;


== '''Remarques sur l'exposant pair''' ==


L'idée est de rechercher des formes  &lt;math&gt;z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; copremiers. 

Pour tous  &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; , l'informatique sort systématiquement une solution du type &lt;math&gt;z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 &lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;u=1 \text{ ou } v=1&lt;/math&gt;

Pour les &lt;u&gt;nombres premiers&lt;/u&gt;, c'est la &lt;u&gt;seule et unique&lt;/u&gt; forme:

&lt;math&gt;\begin{align}
7 ^ 2 &amp;=  ( 5 )^2&amp; +&amp; 6 \cdot ( 2 )^2 \\
7 ^ 4&amp; = ( 1 )^2 &amp;+&amp; 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\
7 ^ 6 &amp;= ( 5\times47 )^2 &amp;+&amp; 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\
7 ^ 8 &amp;=  ( 2399 )^2&amp; +&amp; 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2
\end{align}&lt;/math&gt;

Pour les nombres composés, on observe des doublons comme:

&lt;math&gt;\begin{align}
21 ^ 2 &amp;= ( 19 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2 )^2 \\
 &amp;= ( 11 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\
\\
21 ^ 6 &amp;= ( 11\times11\times19 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\
&amp; =  ( 11\times839 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\
\\
15 ^ 4 &amp;= ( 113 )^2 &amp;+&amp; 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\
&amp; = ( 223 )^2&amp; +&amp; 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2
\end{align}&lt;/math&gt;


Et parfois apparaissent d'autres cas que &lt;math&gt;u=1 \text{ ou } v=1&lt;/math&gt;, avec éventuellement des doublons 

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
21 ^ 2 &amp;= 17 \cdot ( 5 )^2 &amp;+&amp; 4 \cdot ( 2 )^2 \\
33 ^ 2 &amp;= 31 \cdot ( 1 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 23 )^2 \\
&amp;= 17 \cdot ( 7 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\
\\
21 ^ 6 &amp;= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &amp;+&amp; 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\
33 ^ 6&amp; = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\
&amp;= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &amp;+ &amp;2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;


Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme.

On arrive alors à une forme &lt;math&gt;(x+y)^{2m}
= A^2+xy\cdot B^2&lt;/math&gt;

{{Proposition|épaisseur=1px|contenu=&lt;math&gt;n=2m&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt; \quad (x-y)^n
= A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2
-xy \cdot  \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2
&lt;/math&gt;}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les &lt;math&gt;f_n(x,y) &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f_n(y,x) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k
= \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(x-y)^n
= \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;(x-y)^n
= A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)&lt;/math&gt;

Par conséquent &lt;math&gt;(x+y)^n
= A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)&lt;/math&gt;

Comme pour le cas impair en multipliant, &lt;math&gt;(x^2-y^2)^n
= A^2-x^2y^2\cdot B^2&lt;/math&gt;

Puis on substitue &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;(x^2,y^2)&lt;/math&gt;}}

'''Exemples''':

&lt;math&gt;\begin{array}{llll}
(x+y)^2&amp;= \left(x-y\right)^2 &amp;+&amp;xy\cdot \left(2\right)^2 \\
(x+y)^4&amp;= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&amp;+&amp;xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\
(x+y)^6&amp;= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &amp;+&amp;xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2
\end{array}&lt;/math&gt;


Si on cherche &lt;math&gt;(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d
^2&lt;/math&gt;, alors la formule ne va être applicable que pour les cas &lt;math&gt;u=1 \text{ ou } v=1&lt;/math&gt;. Et pour &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet:

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
17 ^ 6&amp; = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &amp;+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\
 =289^3&amp;=  225 \cdot ( 3\times11 )^2 &amp;+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 
\end{array} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
23 ^ 6 &amp;= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &amp;+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\
=529 ^ 3 &amp;= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &amp;+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;

Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires &lt;math&gt;n=2^k&lt;/math&gt;

'''Exemples:'''

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2 )^2\\
17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\
17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &amp;+&amp; 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;


On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers:

{{Proposition|épaisseur=1px|contenu=&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier impair et  &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; 2 entiers positifs tels que &lt;math&gt;p=u+v&lt;/math&gt;

Alors la forme &lt;math&gt;p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2&lt;/math&gt; , &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt; copremiers, n'existe que pour  &lt;math&gt;u=1&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;v=1&lt;/math&gt;.
De plus, elle est unique.}}
{{Démonstration déroulante|contenu=

La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair.

Avec &lt;math&gt;p=a+b&lt;/math&gt;. Pour montrer l'inexistence pour &lt;math&gt;a\neq1 \text{ et } b\neq1&lt;/math&gt;, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;p^{2n}=au^2+bv^2&lt;/math&gt;alors il existe &lt;math&gt;(u',v')&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;p^{2n-2}=au'^2+bv'^2&lt;/math&gt;. Jusqu'à &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; et ainsi conclure que &lt;math&gt;a=1 \text{ ou } b=1&lt;/math&gt;

Le passage de &lt;math&gt;2n&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;2n-2&lt;/math&gt; se fait en deux étapes. On peut supposer que &lt;math&gt;p \nmid u&lt;/math&gt; (sinon c'est fait).

&lt;math&gt;a+b \equiv 0 \pmod p&lt;/math&gt;, donc &lt;math&gt;u^2\equiv v^2\pmod p&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;v=\varepsilon u+pw&lt;/math&gt;. 

Ce qui donne  &lt;math&gt;p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2&lt;/math&gt;.

On en déduit  &lt;math&gt;p \mid u+2\varepsilon bw &lt;/math&gt;, d'où &lt;math&gt;u+2\varepsilon bw=pt&lt;/math&gt;

En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme &lt;math&gt;p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2&lt;/math&gt;

En simplifiant par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; puis en utilisant &lt;math&gt;p=a+b&lt;/math&gt;, on obtient &lt;math&gt;p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2&lt;/math&gt;
}}

{{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu=
Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un premier impair.
Alors  &lt;math&gt;\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1&lt;/math&gt;  tels que  &lt;math&gt;p^2=c^2+(p-1)d^2&lt;/math&gt;

En l'occurrence &lt;math&gt;p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)&lt;/math&gt;
|épaisseur=1px}}

'''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
21 ^ 2 &amp;= ( 19 )^2 &amp;+&amp; 20 \cdot ( 2 )^2 \\
 &amp;= \color{red}( 11 )^2&amp;+&amp; \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\
&amp; = 17 \cdot ( 5 )^2&amp;+&amp;4 \cdot ( 2 )^2\\
\\
33 ^ 2&amp;=  ( 31 )^2&amp;+&amp;32 \cdot ( 2 )^2 \\
 &amp;=\color{red}( 17 )^2&amp;+&amp;\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\
&amp;= 17 \cdot ( 7 )^2&amp;+&amp;16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\
&amp;= 31 \cdot ( 1 )^2&amp;+&amp;2 \cdot ( 23 )^2 \\
\\
35 ^ 2&amp;=  ( 3\times11 )^2 &amp;+&amp; 34 \cdot ( 2 )^2\\
&amp; = \color{red}( 1 )^2 &amp;+&amp;\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2

\end{array}&lt;/math&gt;


{{Attention| La réciproque est fausse }}

39 a une unique forme sur &lt;math&gt;(1,38)&lt;/math&gt;, mais une autre sur &lt;math&gt;(25,14)&lt;/math&gt;, ce qui &quot;trahit&quot; sa non-primalité.

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &amp;= ( 37 )^2 &amp;+&amp; 38 \cdot ( 2 )^2\\
&amp; = 25 \cdot ( 5 )^2 &amp;+&amp; 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2


\end{array}&lt;/math&gt;

Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en &lt;math&gt;a\cdot u^2+b\cdot v^2&lt;/math&gt;. Puis ensuite 93

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&amp;=  ( 5\times17 )^2 &amp;+&amp; 86 \cdot ( 2 )^2\\
93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&amp;=( 7\times13 )^2 &amp;+&amp; 92 \cdot ( 2 )^2 


\end{array}&lt;/math&gt;

Cependant ils &quot;trahissent&quot; leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{ll}
87 ^ 3 &amp;= 85 \cdot ( 79 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\
&amp;= 85 \cdot ( 17 )^2&amp; +&amp; 2 \cdot ( 563 )^2 \\
93 ^ 3&amp; = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 271 )^2\\
&amp;= 91 \cdot ( 37 )^2 &amp;+&amp; 2 \cdot ( 11\times53 )^2
\end{array}&lt;/math&gt;

== '''Remarques sur le trinôme''' ==
on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] &lt;math&gt;(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}&lt;/math&gt;

On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme.

* Déjà l’existence de triplets &lt;math&gt;(a,b,c)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2&lt;/math&gt; avec les facteurs premiers de &lt;math&gt;(a, b, c)&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\pm1[2n]&lt;/math&gt; ?

Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions.

On donne quelques exemples ici :

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
19^5=(1+7+11)^5 &amp;= 1\times911^2&amp;+ 7\times251^2 &amp;+11\times331^2\\
25^5 =(7+5+13)^5&amp;= 7\times701^ 2&amp;+ 5\times571^2&amp;+ 13\times601^2\\
9^7 = (3+5+1)^7&amp;= 3 \times 449  ^2&amp;+ 5 \times 911^2&amp;+ 1 \times 13 ^4
\end{array} &lt;/math&gt; 

* Ensuite, l’existence de formes &lt;math&gt;x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)&lt;/math&gt; avec les facteurs premiers de &lt;math&gt;f_n(x,y,z)&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;1 [2n]&lt;/math&gt;

Oui. Quelques exemples ici :

&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\
8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\
8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 
\end{array} &lt;/math&gt;

Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale

== '''Conclusion''' ==
Afin de généraliser à &quot;toutes les puissances&quot;, nous pouvons condenser les résultats trouvés dans la proposition suivante : 

Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; &lt;u&gt;un premier impair&lt;/u&gt; et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; un &lt;u&gt;entier positif&lt;/u&gt;. Alors il existe 2 &lt;u&gt;uniques&lt;/u&gt; entiers positifs &lt;math&gt;(c, d)&lt;/math&gt; premiers entre eux tels que &lt;math&gt;p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2  &lt;/math&gt;. De plus, si l'exposant &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est premier impair, les facteurs premiers de &lt;math&gt;(u, v)&lt;/math&gt; sont &lt;u&gt;congrus&lt;/u&gt; à &lt;math&gt; \pm 1[2n]&lt;/math&gt;.

L'existence est assurée par les relations  &lt;math&gt;p=1^2+(p-1)1^2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 &lt;/math&gt; , où ici &lt;math&gt;(a,b)=(1,p-1)&lt;/math&gt;. Mais on peut s'étonner de l'&lt;u&gt;unicité&lt;/u&gt; qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de &quot;''ligne de crête''&quot; remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers &lt;math&gt;p\equiv 1 [4]&lt;/math&gt; il existe 2 &lt;u&gt;uniques&lt;/u&gt; &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;p = a^2+b^2&lt;/math&gt;, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les &lt;math&gt;(p^{2k-1}, p^{2k})&lt;/math&gt; ayant exactement &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier &lt;math&gt;p\equiv 1 [4]&lt;/math&gt;, il n'existe pas de formule pour trouver directement les &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;, mais des algorithmes.  Le chemin  &lt;math&gt;p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2  &lt;/math&gt; est directement accessible, avec des formules explicites pour les &lt;math&gt;(c,d)&lt;/math&gt;. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à &lt;math&gt; \pm 1[2n]&lt;/math&gt;, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique.

== '''Applications''' ==

===  Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b ===
Soient les coniques du type &lt;math&gt;a x^2 - b y^2= a - b &lt;/math&gt;

En réécrivant &lt;math&gt;\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 &lt;/math&gt;. Alors d'un point &lt;math&gt;(1,1)&lt;/math&gt; solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance &lt;math&gt;n &lt;/math&gt; et l'utilisation de la formule des carrés :  &lt;math&gt;\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 &lt;/math&gt;

Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en &quot;tournant&quot;

[[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des &lt;math&gt;f_n(x,y)&lt;/math&gt; à partir de (1;1)|cadre|centré]]

[[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]]


=== Équation de Bachet-Mordell ===
Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type &lt;math&gt;y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites).

Ici nous travaillons pour &lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; (''équation de Bachet'')

Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour &lt;math&gt;k=(3n^2 + 1)_n &lt;/math&gt; , &lt;math&gt;k=(3n^2 -1)_n &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n &lt;/math&gt;

On part de l'identité remarquable :

{{Encadre|contenu=&lt;math&gt;
(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2
&lt;/math&gt;|épaisseur=1px}}

2 possibilités:

1) On pose &lt;math&gt;(a,b)=(1,x-1)&lt;/math&gt;, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube:

{{Encadre|contenu=&lt;math&gt;
\begin{array}{clclcr}
x^3&amp;=&amp;(3x-4)^2&amp;+&amp;(x-1)(x-4)^2 &amp;\quad(E3)\\ 
x^3&amp;=&amp;y^2&amp;+&amp;-k

\end{array}&lt;/math&gt;|épaisseur=1px}}

Voici les solutions pour &lt;math&gt;b=1,2,3,4,5,...&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\begin{array}{rrr}
(E3):&amp;(x,y,k)=
( 1 , 1 , 0 ),
{\color{red}( 2 , 2 , -4 )},
{\color{green}( 3 , 5 , -2 )},
( 4 , 8 , 0 ),
{\color{red}( 5 , 11 , -4 )},
( 6 , 14 , -20 ),
( 7 , 17 , -54 ),
( 8 , 20 , -112 ),
( 9 , 23 , -200 ),~...
\end{array}&lt;/math&gt;

On remarque ici que ce &quot;partage&quot; du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir &lt;math&gt;\color{green}y^2=x^3 -2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\color{red}y^2=x^3 -4&lt;/math&gt;. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré.


2) On change &lt;math&gt;b\rightarrow b^2 &lt;/math&gt;, ce qui donne &lt;math&gt;(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2
&lt;/math&gt;

On a un premier carré. 

On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant &lt;math&gt;(a-3b^2)^ 2=1
&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;a=3b^2 + 1
&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;a=3b^2 - 1
&lt;/math&gt;

{{Encadre|contenu=&lt;math&gt;
\begin{array}{lclclcl}
a=3b^2+1\Rightarrow&amp;(4b^2+1)^3&amp;=&amp;(3b^2+1)&amp;+&amp;\left(b(8b^2+3)\right)^2&amp;\quad(E1)\\
a=3b-1\Rightarrow&amp;(4b^2-1)^3&amp;=&amp;(3b^2-1)&amp;+&amp;\left(b(8b^2-3)\right)^2&amp;\quad(E2)\\
&amp;x^3&amp;=&amp;-k&amp;+&amp;y^2
\end{array}&lt;/math&gt;|épaisseur=1px}}

Ce qui donne comme solutions pour &lt;math&gt;b=1,2,3,4,5,...&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{llrrrrr}
(E1):&amp;(x,y,k)=
\color{red}( 5 , 11 , -4 ),
&amp;( 17 , 70 , -13 ),
&amp;( 37 , 225 , -28 ),
&amp;( 65 , 524 , -49 ),
&amp;(  101 , 1015 , -76),~ ... \\
(E2):&amp;(x,y,k) =
{\color{green}( 3 , 5 , -2 )},
&amp;(  15 , 58 , -11 ),
&amp;(  35 , 207 , -26 ),
&amp;(  63 , 500 , -47 ),
&amp;(  99 , 985 , -74 ),~...
\end{array}&lt;/math&gt;


===[[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Le grand théorème de Fermat]] ===
==== Une remarque presque anodine ====
&lt;math&gt;n&gt;2\Rightarrow z^n \neq  x^n+y^n&lt;/math&gt; : &quot;« ''Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrième puissance, et généralement une puissance quelconque en deux'' ''puissances de même nom au-dessus de la seconde puissance, est une chose impossible, et j’en ai réellement trouvé l’admirable démonstration. La marge trop exiguë ne la contiendrait pas.'' »

C'était un &quot;simple&quot; commentaire à une question du livre de Diophante. Sa date est inconnue. Mais Fermat n'en reparlera jamais. Aucune allusion pendant les 25 ans d'une correspondance très fournie avec ses contemporains. Plus aucune trace. Un mystère total.

==== Rappels historiques ====
Des investigations historiques déjà été faites par de nombreux spécialistes, comme ''Tannery''&lt;ref&gt;https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf&lt;/ref&gt; , ''Itard''&lt;ref&gt;https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767&lt;/ref&gt;, ''Rashed''&lt;ref name=&quot;:3&quot;&gt;https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html&lt;/ref&gt;'','' ''Goldstein''&lt;ref&gt;https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf&lt;/ref&gt; , ''Bachmakova''&lt;ref&gt;{{Article|prénom1=Isabelle|nom1=Bachmakova|titre=Diophante et Fermat|périodique=Revue d'histoire des sciences et de leurs applications|volume=19|numéro=4|date=1966|issn=0048-7996|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/23905707|consulté le=2026-07-23|pages=289–306}}&lt;/ref&gt;. Mais consulter tous ces remarquables travaux ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la correspondance de Fermat&lt;ref&gt;https://archive.org/details/oeuvresdefermat942ferm&lt;/ref&gt;, ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. On peut retenir les jalons suivants:

* Lettre à ''Domini de Sainte-Croix'' en 1636 ou 1637 : Fermat le met &quot;au défi&quot; de trouver des entiers tels que  &lt;math&gt; z^3 =  x^3+y^3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; z^4 =  x^4+y^4&lt;/math&gt;. Il a donc déjà les cas &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; n=4&lt;/math&gt; de son théorème. Le cas &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt; prend probablement sa source à la question &lt;math&gt; a^3+b^3 =  c^3+d^3&lt;/math&gt; du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube&lt;ref&gt;En effet, on tombe rapidement sur la formule &lt;math&gt;b^3\left(b^3+2a^3\right)^3={\color{green}(a^3+b^3)}\left(b^3-a^3\right)^3 + a^3\left(a^3+2b^3\right)^3&lt;/math&gt;. On n'est pas loin du partage d'une cube! Il suffirait juste de trouver un premier cube &lt;math&gt;\color{green}c^3=a^3+b^3&lt;/math&gt; , qui engendrerait à lui seul une infinité d'autres solutions. Mais ce cube somme de 2 cubes, il n'existe pas.&lt;/ref&gt;. Mais c'est impossible. Fermat en fait l'annonce d'une preuve grâce à sa nouvelle technique révolutionnaire appelée &quot;descente infinie&quot;. Malheureusement il n'en laissera aucuns détails pour ce cas précis&lt;ref&gt;On peut penser que Fermat passe par la voie qu'empruntera Euler. A savoir: la réécriture du problème &lt;math&gt;x^3+y^3=(u+v)^3+(u-v)^3=2uf_3(u^2,v^2)=2u(u^2+3v^2)=z^3&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; impairs et donc &lt;math&gt;(u,v)&lt;/math&gt; copremiers de parité différente. Et la stabilité par multiplication des nombres &lt;math&gt;u^2+3v^2&lt;/math&gt;. Ainsi, en supposant &lt;math&gt;z=a^2+3b^2&lt;/math&gt;, on tombe sur &lt;math&gt;u=a(a+3b)(a-3b)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;v=b(a+b)(a-b)&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;2u&lt;/math&gt; est un cube, donc &lt;math&gt;(2a, a-3b, a+3b)=(r^3,s^3,t^3)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;s^3+t^3=r^3&lt;/math&gt;. Puisque ce sont des diviseurs,  &lt;math&gt;|r|&lt;|u|&lt;|z|&lt;/math&gt;. La descente est amorcée. 

Au passage, &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; pourraient donc éventuellement être négatifs, mais Fermat n'avait pas de problèmes avec les nombres négatifs. Il appelait les nombres positifs les nombres &quot;vrais&quot;, mais ne restait pas bloqué sur les négatifs comme ''Bachet .'' (cf ''Rashed).'' Et contrairement à ce qu'on entend souvent, les grecs anciens comme ''Diophante'' non plus: (cf ''Bachmakova'' )&lt;/ref&gt;. C'était coutume à son époque, où il ne fallait pas trop dévoiler ses secrets. D'ailleurs, dans toute sa correspondance, il n'expliquera qu'une seule fois la démarche, au moment de prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée.&lt;ref&gt;cf Rashed (p321) rappelle que cette explication de la  descente à Frenicle sera reprise et même simplifiée en 1676 dans son &quot;''Traité des Triangles rectangles en nombres, dans lequel Plusieurs belles propriétés de ces Triangles sont démontrées par de nouveaux principes&quot;''  Proposition 39.&lt;/ref&gt; Et c'est ce résultat qui implique directement le cas &lt;math&gt; n=4&lt;/math&gt;. Ainsi, les cas &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; n=4&lt;/math&gt;, s'ils se ressemblent par la forme, sont a priori complètement indépendants. Le grand théorème &lt;math&gt; z^n \neq  x^n+y^n&lt;/math&gt; n'arrive donc pas d'un seul bloc.
* Lettre à ''Frenicle'' en avril 1640 : Fermat se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers&lt;ref&gt;''&quot;Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Arithmétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends  quelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que, si longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle.&quot;''&lt;/ref&gt;
* Lettre à ''Mersenne'' de mai 1640 : il veut vérifier si ''Frenicle'' &quot;ne procède point par tables&quot; en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul.

* Lettre à ''Mersenne'' de juin 1640 : il annonce que &lt;math&gt;2^n-1&lt;/math&gt; n'a que des facteurs premiers en &lt;math&gt;1[2n]&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Pour les &lt;math&gt;2^n -1&lt;/math&gt;, Fermat dit avoir trouvé &lt;math&gt;2^{37}-1=137438953471  =  223\times616318177&lt;/math&gt; en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .&lt;/ref&gt;

* Lettre à  ''Frenicle'' d'aout 1640 : il annonce que &lt;math&gt;\dfrac{2^n+1}{3}&lt;/math&gt; n'a que des facteurs premiers en &lt;math&gt;1[2n]&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;:2&quot;&gt;''&quot;Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini.&quot;''&lt;/ref&gt;

* Lettre à ''Frenicle'' d'octobre 1640 : il a élargi &lt;math&gt;2^n&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;a^n&lt;/math&gt;, et annonce son &quot;petit&quot; théorème pour &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier :  &lt;math&gt;\forall a,~ p| (a^{p-1}-1)&lt;/math&gt;[https://arxiv.org/abs/2502.11165]
* Lettre à ''Mersenne'' en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] :  &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; premier et congrus à &lt;math&gt;1[4]&lt;/math&gt; est unique somme de 2 carrés&lt;ref&gt;Le théorème est énoncé avant par son contemporain [[w:Albert_Girard#Le_th%C3%A9or%C3%A8me_des_deux_carr%C3%A9s|Albert Girard]] . Mais Il est souvent reporté que Fermat ne le connaissais pas. &lt;/ref&gt;. Mais aussi il étend aux &lt;u&gt;puissances&lt;/u&gt; en précisant que &lt;math&gt;(p^{2k-1}, p^{2k})&lt;/math&gt; ont exactement &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; décompositions différentes en somme de 2 carrés.
Il quasiment certain que Fermat a continué son travail sur les puissances. Notamment que &lt;math&gt;\frac{ x^p+y^p}{x+y}&lt;/math&gt;ne contient que des facteurs premiers congrus à &lt;math&gt;1[2p]&lt;/math&gt; 

==== Factorisation de '''(x+y)ᵖ-(xᵖ+yᵖ)''' ====
Nous rappelons ici les relations du chapitre &quot;'''Propriétés algébriques&quot;'''. A savoir la factorisation &quot;maximale&quot; dans &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; pour p premier:

&lt;math&gt;(x+y)^p-(x^p+y^p)=pxy(x+y)(x^2+xy+y^2)^kQ(x,y)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;k=1 \text{ pour } p\equiv -1[6], k=2 \text{ pour } p\equiv 1[6]&lt;/math&gt; .     

Fermat aurait pu arriver à ce résultat. Encore faudrait-il savoir dans quel but il aurait cherché cette factorisation. En tout cas, quiconque se replonge dans le théorème se retrouve à faire ce calcul, et à y rechercher des régularités. Ainsi, on observe immédiatement que si &lt;math&gt;x^p+y^p=z^p&lt;/math&gt;, alors on se retrouve à gauche avec une différence de puissance, et donc à droite des facteurs premiers en &lt;math&gt;1[2p]&lt;/math&gt; sur&lt;math&gt;Q(x,y)&lt;/math&gt;. Mais il n'y a pas de régularité sur les  &lt;math&gt;Q(x,y)&lt;/math&gt;. Leur expression devient compliquée, voir imprédictible, au fur et à mesure que l'exposant grandit. Donc sans vraiment de généralisation possible à toutes les puissances. On peut penser qu'il existe un chemin plus &quot;simple&quot; qui éveille l'intuition de Fermat.    

==== Fermat et les carrés ====
Fermat hérite des questions de ces prédécesseurs autour des carrés et des cubes. Mais Il marque une vraie rupture par rapport à la tradition diophantienne. Il se focalise sur les nombres entiers, là où les autres cherchent des nombres rationnels. Et de là il voit apparaître de la structure avec les nombres premiers. Une fois lancé, il continuera de s'intéresser aux combinaisons linéaires de carrés entiers, avec notamment les familles de nombres premiers de la forme &lt;math&gt;a^2+nb^2&lt;/math&gt;, l'équation &lt;math&gt;x^2-ny^2=1&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;:4&quot;&gt;Des solutions rationnelles de &lt;math&gt;x^2-ny^2=1&lt;/math&gt; sont &lt;math&gt;(x,y)=\left(\dfrac{1+nm^2}{1-nm^2}; \dfrac{2m}{1-nm^2}\right), m \in \Q&lt;/math&gt;. En effet, en remarquant que l'équation se réécrit &lt;math&gt;(x+1)(x-1)=ny^2&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;y=m(x+1)&lt;/math&gt; et on se retrouve avec uniquement du 1er degré sur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Par contre, dans &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, c'est une toute autre affaire! Fermat cherchera et dira avoir trouvé, sans autre précision, qu'il y en existe quel que soit &lt;math&gt;n &lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ... Il a également innové dans les méthodes de résolution de systèmes doubles ou triples d'équations &lt;math&gt;a_ix+b_i=y^2&lt;/math&gt; . En algèbre, il s'intéresse aux techniques d'élimination, où il publie même un papier&lt;ref&gt;https://fr.wikisource.org/wiki/%C5%92uvres_de_Fermat/I/M%C3%A9thode_d%E2%80%99%C3%A9limination&lt;/ref&gt;. Ces méthodes consiste à supprimer des inconnues, et réduire le degré des équations. On renvoie aux explications d'''Erwan Penchevre''&lt;ref&gt;https://images.math.cnrs.fr/wp-content/uploads/2024/02/penchevre-04-elimination.pdf&lt;/ref&gt;. Enfin, il était expert en carrés magiques. Et même des carrés magiques en 3 dimensions, nommés cubes magiques&lt;ref&gt;{{Lien web|titre=MULTIMAGIE.COM - Le cube magique de Fermat, 1640|url=http://multimagie.com/Francais/Fermat.htm|site=multimagie.com|consulté le=2026-07-08}}&lt;/ref&gt;! 

Bref, il y a beaucoup d'indices pour penser que Fermat avait découvert la forme des carrés  &lt;math&gt;  \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2}  &lt;/math&gt;

En effet, pour &lt;math&gt; n=3&lt;/math&gt;, on  &lt;math&gt;(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2&lt;/math&gt;

Soit en partage &lt;math&gt;x^3=(w+x-w)=w(4w-3x)^2 +(x-w)(x-4w)^2 &lt;/math&gt; 

On peut trouver facilement des solutions aux équations du type  &lt;math&gt;x^3=y^2+k&lt;/math&gt; . 

Soit en substituant &lt;math&gt;w^2&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;, ou plus simplement en prenant &lt;math&gt;w=1&lt;/math&gt; 

Or Fermat a travaillé sur les cubiques &lt;math&gt;x^3=y^2+2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;x^3=y^2+4&lt;/math&gt;, dont la formule atteint immédiatement les solutions &lt;math&gt;(3,5)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\{(2,2),(5,11) \}&lt;/math&gt;. Fermat dira avoir réussi à prouver par descente que ce sont les seules.

==== L'idée de Fermat? ====

Je propose ici une hypothèse pour essayer de résoudre non pas la preuve du théorème, mais le mystère autour de cette preuve. Voici donc comment Pierre de Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème, cet éclair &quot;merveilleux&quot; qui semble avoir surgi et dont on ressent la puissance lorsqu'on lit la note du Diophante.

Considérons un entier &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; quelconque tel que &lt;math&gt;w &lt; x&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;w &lt; y&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un premier supérieur ou égal à 5     

Dans &lt;math&gt;z^p=x^p+y^p&lt;/math&gt;, Substituons &lt;math&gt;(w+x',w+y',w+z')&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;(x,y,z)&lt;/math&gt;.

Cela donne:

&lt;math&gt;(w+z')^p=(w+x')^p+(w+y')^p&lt;/math&gt;     

Avec la formule des carrés, cela devient: 

&lt;math&gt;w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;(a,b,c,d,e,f)&lt;/math&gt;  des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à &lt;math&gt;\pm1 [2n]&lt;/math&gt;,

qu'on peut réduire en: 

&lt;math&gt;w\cdot e^2+z'\cdot f^2 =  w\cdot(a^2+c^2)+x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2&lt;/math&gt;     

Ainsi tous les &lt;math&gt;(a,b,c,d,e,f)&lt;/math&gt; ont des facteurs premiers supérieurs à &lt;math&gt;2p-1&lt;/math&gt;, par conséquent '''strictement''' '''supérieurs à 3 et à 5'''.    

Maintenant (et c'est là que c'est un peu fort de café&lt;ref&gt;Si tant est qu'un mathématicien est &quot;une machine à transformer le café en théorèmes&quot; d'après Paul Erdős&lt;/ref&gt;), par &lt;u&gt;identification sur&lt;/u&gt; &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;, on a  &lt;math&gt;e^2=a^2+c^2&lt;/math&gt; . 

D'où une '''contradiction'''! Car on sait que dans les triplets pythagoriciens  &lt;math&gt;r^2=s^2+t^2&lt;/math&gt;, '''3 et 5 divisent forcément le produit''' &lt;math&gt;rst&lt;/math&gt;  

Certes c'est une affirmation hasardeuse. Car de quel droit identifier sur &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; ? Mais sachant que ça s'écrit pour n'importe quel &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;, l'idée n'est-elle pas séduisante? Peut-on construire un système d'équations? Existe-t-il un certain &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; qui fonctionne&lt;ref&gt;Une première idée serait qu'avec &lt;math&gt;wx+b=wy+c &lt;/math&gt;, si on a &lt;math&gt;b&lt;w&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;c&lt;w&lt;/math&gt;, alors là on peut identifier  &lt;math&gt;x=y&lt;/math&gt;. Pour cela, il faudrait &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; grand, éventuellement en considérant la limite à l'infini? Mais cela ne semble pas fonctionner, car les carrés sont toujours plus grand que les &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Une seconde idée serait de prendre &lt;math&gt;w \in \C&lt;/math&gt; . Pour &lt;math&gt;n=5&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x^5=w(16w^2+5x^2-20wx )^2+(x-w)(16w^2+x^2-12wx)^2&lt;/math&gt;Le premier carré donne une valeur réelle pour &lt;math&gt;w=5x/8+b i, b \in \R&lt;/math&gt; et le deuxième carré pour &lt;math&gt;w=3x/8+b i, b \in \R&lt;/math&gt;. Il n'y a donc pas de recouvrement possible. De plus, cette valeur est commune et vaut &lt;math&gt;-5x^2/4-16b^2&lt;/math&gt;. Qui n'a aucune propriété concernant les facteurs premiers en &lt;math&gt;\pm1 [10]&lt;/math&gt; .  ça ne fonctionne pas&lt;/ref&gt;? Et si Fermat était passé par cette voie si tentante? 

==== Plausibilité historique ====

Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez intéressante du point de vue historique :

- Si ça &quot;fonctionne&quot; pour &lt;math&gt;p \ge 5&lt;/math&gt; , cela ne s'applique pas aux cas &lt;math&gt;n =4&lt;/math&gt; car il faut que &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; soit premier impair. Et pour le cas &lt;math&gt;p =3&lt;/math&gt; , la formule des carrés engendre des facteurs premiers en &lt;math&gt;\pm1 [6]&lt;/math&gt;. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre technique. En l’occurrence la nouvelle descente infinie inventée par Fermat lui-même! Les cas &lt;math&gt;n =3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n =4&lt;/math&gt; restent particuliers. C'étaient les premiers prouvées par Fermat, et il ne se font pas englobés. Chronologiquement, ça se tient.

- C'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela &quot;admirable&quot;. Et il n'y pas de différenciation de cas  &lt;math&gt;p\mid xyz&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;p \nmid xyz&lt;/math&gt; 

- Avec du recul, Fermat a pu se dire que finalement ça ne marcherait pas. C'est l'hypothèse de l'historien ''Jean Itard,'' afin de justifier que Fermat ne citera plus jamais le cas général à ses correspondants. J'en doute car il était honnête homme. Il n'aurait pas laissé la remarque dans le Diophante. Alors n'était-ce juste simplement pas important? Rappelons que le bébé de Fermat, c'est la descente infinie. On le voit bien dans ses lettres. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à ''Wallis'', ''Digby'', ou ''Carcavi'', il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres sont presque laissé au second plan.

- La descente infinie est très compliquée pour &lt;math&gt;n = 5&lt;/math&gt;. Fermat n'a pas pu y arriver, Dirichlet et Legendre en venant à bout en 1825&lt;ref&gt;En appliquant la même technique que pour le cas &lt;math&gt;n=3&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;(u+v)^5+(u-v)^5=2u\left( (u^2+5v^2)^2-5(2v^2)^2 \right) &lt;/math&gt;. L'accroche ici est qu'on retrouve une forme &lt;math&gt;X^2-5Y^2&lt;/math&gt; , stable par multiplication. Ç’aurait pu interpeler Fermat, c'est comme &lt;math&gt;X^2+3Y^2&lt;/math&gt; dans le cas &lt;math&gt;n=3&lt;/math&gt;. Malheureusement ça ne marche plus aussi simplement car on n'obtient pas une expression factorisée de &lt;math&gt;2u&lt;/math&gt;. Voir la démonstration de ''Dirichlet/Legendre'' pour constater les nombreuses difficultés à surmonter.&lt;/ref&gt;. Pire, la technique devient inopérante pour les exposants supérieurs&lt;ref name=&quot;:5&quot;&gt;''Yves Hellegouarch'' dans son livre &quot;''Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles''&quot;, écrit page 38: &quot;''On peut penser que pour les exposants''  ''premiers impairs, Fermat associait à son équation la forme quadratique'' &lt;math&gt;X^2+(-1)^{(p+1)/2}pY^2&lt;/math&gt; . C'est un résultat juste. Mais peut-être anachronique. En effet, cf [https://math.stackexchange.com/questions/5144009/fermat-hellegouarch-sum-of-powers-quadratic-forms maths.stackechange]  pour les calculs qui s'avèrent être fastidieux.&lt;/ref&gt;. Or on sait que Fermat a toujours été suffisamment honnête pour avouer à ses correspondants qu'il n'arrivait pas (encore) à démontrer un résultat. Or Jamais il ne fera mention d'un essai pour des puissances supérieures. Non. Ici avec la formule des carrés, il n'y a pas besoin de descente infinie!

==== Objection? ====
Malheureusement un tout autre scenario est envisageable. Dans l'hypothèse précédente, il faut supposer que Fermat a écrit son commentaire bien après sa première lecture de la question de Diophante. Ou qu'il l'a écrit pour les cas &lt;math&gt;n =3&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n =4&lt;/math&gt; , puis qu'il a complété son commentaire une fois son travail sur les puissances effectué. Qu'il y serait donc revenu quelques années après. Ça paraît étrange.

Car vu le ton employé, on peut aussi avoir l'impression que cela est venu d'un bloc, avec toutes les puissances sans distinction de cas, sans séparation entre les cas &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;n = 4&lt;/math&gt;, ou &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; premier. Autrement dit, on peut supposer qu'il sait immédiatement, en s'appuyant sur des travaux antérieurs&lt;ref&gt;Fermat a déjà fait énormément de mathématiques avant de s'attaquer à l'arithmétique. D'ailleurs dans sa première lettre à Mersen en 1936, il dit: &quot;''Je serai aussi bien aise d'apprendre par votre moyen tous les Traités ou Livres nouveaux de Mathématiques qui ont paru depuis cinq ou six ans.''&quot; Comme s'il avait dû faire une pause de quelques années. On imagine à cause de son métier très prenant.&lt;/ref&gt;, que le problème est impossible dans &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; , puisque c'est implicite chez Diophante: on cherche comment diviser un carré en somme de 2 carrés '''&lt;u&gt;rationnels&lt;/u&gt;'''. Ainsi Fermat affirmerait haut et fort dans son commentaire que  &lt;math&gt;x^n+y^n=z^n&lt;/math&gt; n'a pas de solution dans &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt;. Ce qui fatalement rend le problème impossible dans &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ! Ce serait ensuite que Fermat essaie de le montrer dans &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, avec des raisonnements spécifiques aux nombres entiers, comme la descente infinie. Il le dit dans ses lettres. Il a eu beaucoup de difficulté à appliquer la technique pour le cas &lt;math&gt;n = 3&lt;/math&gt;. Mais il s'est accroché et ça n'était pas pour rien. Car il savait que le résultat était vrai.     

== '''Postface''' ==
Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du  [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai&lt;ref&gt;il existe des suites des couples  &lt;math&gt;(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;  dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour &lt;math&gt;n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 &lt;/math&gt; cf &quot;[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?&quot;]&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;La suite de Perrin &lt;math&gt;(P_n)&lt;/math&gt; est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est  &quot;si ''n'' divise &lt;math&gt;P_n&lt;/math&gt; alors ''n'' est un nombre premier&quot;. le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour &lt;math&gt;n=271441=521^2&lt;/math&gt; . Le nombre &lt;math&gt;P_{271441}&lt;/math&gt; a 33150 chiffres!!&lt;/ref&gt;! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés&lt;ref name=&quot;:1&quot;&gt;{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}&lt;/ref&gt;. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés&lt;ref&gt;&lt;math&gt;h&lt;/math&gt; l’hypoténuse et &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; un côté. L'astuce revient à poser &lt;math&gt;h^2=c^2+(h-\alpha c)^2&lt;/math&gt; afin que les &lt;math&gt;h^2&lt;/math&gt; disparaissent. Ici &lt;math&gt;\alpha \in \mathbb{Q}&lt;/math&gt; un paramètre. Ce qui donne après développement &lt;math&gt;c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h&lt;/math&gt; . Et l'autre côté &lt;math&gt;\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h&lt;/math&gt; . Ici il faut &lt;math&gt;\alpha &gt; 1&lt;/math&gt; pour rester avec des valeurs &quot;positives&quot; et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse &lt;math&gt;\alpha \rightarrow \alpha^{-1}&lt;/math&gt; qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant &lt;math&gt;\alpha \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, on obtient une infinité de solutions.&lt;/ref&gt;. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''&quot;aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''&quot;. Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique&lt;ref&gt;La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant &lt;math&gt;h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 &lt;/math&gt;, on arrive à &lt;math&gt;(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0&lt;/math&gt; . Soit un polynôme du second degré en &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)&lt;/math&gt; .  Avec &lt;math&gt;\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}&lt;/math&gt;, on arrive à &lt;math&gt;\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)&lt;/math&gt; . Or l'équation diophantienne &lt;math&gt;3p(4q^3-p ^3)=d^2&lt;/math&gt; est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!&lt;/ref&gt; ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue &quot;''marge trop petite''&quot; est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes&lt;ref&gt;{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}&lt;/ref&gt;? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}&lt;/ref&gt;? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve&lt;ref&gt;lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&amp;oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}&lt;/ref&gt;. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant &quot;''toutes les puissances''&quot;&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;Fermat est en en fait &quot;tombé&quot; sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, &quot;&lt;math&gt;x^p+y^p=z^p&lt;/math&gt; ''sans solution pour''  &lt;math&gt;p&gt;2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(x,y,z) \in \mathbb{N}^3&lt;/math&gt;&quot;, n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,&quot;(''Tidjman et Zagier'') : &lt;math&gt;x^p+y^q=z^r&lt;/math&gt;''sans solution pour'' &lt;math&gt;(p,q,r)&lt;/math&gt; ''&lt;u&gt;tous supérieur à 2&lt;/u&gt; et &lt;math&gt;(x,y,z) \in \mathbb{N}^3&lt;/math&gt; premiers entre eux.&quot;.'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''&lt;u&gt;aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré&lt;/u&gt;''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.&lt;/ref&gt;? . On rappelle qu'il n'y avait point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Lui qui se disait le plus paresseux des hommes. Mais il les dévoilait peu dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps.

Ici nous avons essayé de reprendre Fermat &quot;au mot&quot;. Que signifie &quot;''partager une puissance''&quot;? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat.


== '''Remerciements''' ==
Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations)

Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ScratchingTheSurface , Thomas Andrews et Mastrem pour les démonstrations)

Merci à Yohann C. pour son aide et ses relectures

Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE]

Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres

Merci à Wikiversité


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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 ΔG=-0.32Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6)
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine + ADP + Pi +Glu EC6353 R04463 amido ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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        <username>Mekkiwik</username>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 ΔG=-0.32Kcal/mol
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6)
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine + ADP + Pi +Glu EC6353 R04463 amido ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.40 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tableau) bi (schema) ΔG=-1.57Kcal/mol
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tableau) uni (schema) ΔG=-0.32Kcal/mol
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6)
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine + ADP + Pi +Glu EC6353 R04463 amido ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tableau) bi (schema) ΔG=-1.57Kcal/mol
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tableau) uni (schema) ΔG=-0.32Kcal/mol
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6)
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine + ADP + Pi +Glu EC6353 R04463 amido ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schema) ΔG=-1.57Kcal/mol
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schema) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6)
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine + ADP + Pi +Glu EC6353 R04463 amido ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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      <comment>/* Glycolyse */</comment>
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{{Hypothèse
 | titre  = Chiralité prébiotique 2
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6)
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine + ADP + Pi +Glu EC6353 R04463 amido ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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        <username>Mekkiwik</username>
        <id>5298</id>
      </contributor>
      <comment>/* Glycolyse */</comment>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6)
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine + ADP + Pi +Glu EC6353 R04463 amido ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine + ADP + Pi +Glu EC6353 R04463 amido ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ΔG=-6.27 '''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine + ADP + Pi +Glu EC6353 R04463 amido ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ΔG=-6.27 '''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine + ADP + Pi +Glu EC6353 R04463 amido ligase ΔG=-8.97 '''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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{{Hypothèse
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'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ΔG=-6.27 '''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 amido ligase '''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ΔG=-6.27 '''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase '''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ΔG=-6.27 '''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ligase '''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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        <username>Mekkiwik</username>
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      <comment>/* Formation de l'ATP */</comment>
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{{Hypothèse
 | titre  = Chiralité prébiotique 2
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ΔG=-6.27 '''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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        <username>Mekkiwik</username>
        <id>5298</id>
      </contributor>
      <comment>/* Formation de l'ATP */</comment>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ΔG=-6.27 '''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=+6.32 '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase '''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ΔG=-6.27 '''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=+6.32 '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ΔG=-6.27 '''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=+6.32 '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ΔG=-6.27 '''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=+6.32 '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase Metacyc bi '''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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{{Hypothèse
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'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ΔG=-6.27 '''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=+6.32 '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase Metacyc bi '''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase bi ΔG=+26.85 '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ΔG=-6.27 '''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=+6.32 '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase Metacyc bi '''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase bi ΔG=+26.85 '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase &amp;emsp;&amp;emsp;'''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein)
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP + CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt;
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde + NAD EC121.21 R01333 glycolaldehyde dehydrogenase
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc Malate à CO2 (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bidirect son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase biocyc ATP vers ADP
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 (R00200) kinase biocyc ADP vers ATP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 (R00206) dikinase (multi-step reaction) metacyc ATP vers AMP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 (R00199) dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 (R01518) mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 (R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 (R01061) dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase &amp;emsp;&amp;emsp;'''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - *5P-ribosylamine + Gly + ATP '''donne |&gt;''' N1-(5P-ribosylamine)glycinamide + ADP + Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ΔG=-6.27 '''GAR'''
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*: - *AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole + ADP + Pi EC634.18 R07404 ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''
*: - *AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=+6.32 '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase Metacyc bi '''FAICAR'''
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase bi ΔG=+26.85 '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=+55.05 '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''GMP'''
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 13 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase CO2 Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 CO2 Gly 
*: - utilise: 8 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une mutase et une ligase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23.28 R01735 oxydoreductase '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' (FMN)
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF'''
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP
=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
*Paris le 5/8/26
===Le processus néguentropique===</text>
      <sha1>rlhwx8ai4cb9acvvskwk48ry1o2q1om</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>CLIL-EMILE - Enseignement des Matières par l’Intégration d’une Langue Étrangère/Histoire du concept et de son implémentation pédagogique</title>
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On peut considérer les approches CLIL/EMILE comme un héritage des programmes d'immersion linguistique en français dans le contexte canadien des années 1960, destinés aux enfants anglophones (Klee, 2019). Ces programmes ont démontré que l'apprentissage de contenus disciplinaires par le biais de la langue était plus efficace que la fréquentation de cours de langue en tant que langue seconde ou étrangère.

Sur la base de cette « success story », les États-Unis se sont également lancés dans la mise en place de programmes d'immersion dans les années 1990, sous le concept « Languages Across the Curriculum » (Klee, 2019). Dans ces programmes, développés pour différents contextes, plusieurs langues étaient utilisées comme langues véhiculaires pour les contenus académiques, généralement des langues d'immigration, comme l'espagnol. Le principe était de favoriser le développement des compétences dans les langues utilisées pour transmettre les contenus, de manière à ne pas promouvoir la monolingualisation des élèves, en leur retirant leurs compétences dans les langues d'origine.

* En Europe, avec la promotion de la politique linguistique « Une L1 et au moins deux langues étrangères », l'approche CLIL a été encouragée à partir de la fin des années 1960 comme moyen de démocratiser l'enseignement des langues (généralement plus accessible aux étudiants en langues et en sciences humaines), d'accroître l'authenticité de l'utilisation de la langue cible, d'améliorer les compétences linguistiques dans la langue cible par l’augmentation de l’exposition et de combler les lacunes du programme scolaire en matière d'apprentissage des langues. Cette promotion a été constante de l'enseignement primaire (et même préprimaire) à l'enseignement supérieur (Bonnet &amp; Breidbach, à paraître, 2026 ; Coyle,1999), mais souvent avec des compréhensions assez différentes du concept et de ses applications didactiques, pédagogiques et curriculaires (Cenoz, Genesee &amp; Gorter, 2014).

Malgré la grande popularité de l'approche CLIL/EMILE et son expansion dans le contexte européen, on ne peut pas affirmer d'emblée que cette popularité ait nécessairement contribué aux objectifs de démocratisation de l'enseignement des langues ou de promotion du plurilinguisme des apprenants. Ainsi, les cours dans le cadre CLIL ont tendance à être plus fréquents dans les écoles et les milieux des classes moyennes et supérieures, et ce sont généralement les élèves ayant les meilleures compétences en langue étrangère qui sont admis dans ces cours. C'est pourquoi les approches CLIL/EMILE ont été qualifiées d'élitistes dans certains contextes nationaux, comme en Belgique (Van Mensel et al. 2020 ; voir aussi Bakken &amp; Brevik, 2023, pour une critique). Par ailleurs, la popularité des cours CLIL/EMILE a surtout favorisé la diffusion de la langue anglaise (Minardi &amp; Costanzo, 2013, pour le cas Italien), qui est largement surreprésentée dans l'offre scolaire de ce type. Cenoz écrit à ce propos : « The development of CLIL in the European context and in other parts of the world cannot be separated from the increasing spread of English as a language of global communication » (2017, p. 239).

En d'autres termes, bien que l’approche CLIL ait été promue comme une approche favorisant le plurilinguisme, elle a finalement eu pour effet secondaire de renforcer le prestige et le pouvoir de l'anglais (Minardi &amp; Costanzo, 2013), de l'enseignement primaire à l'enseignement supérieur. Dans l'enseignement supérieur, l'abondance des cours CLIL/EMILE en anglais pourrait être liée à l'augmentation des programmes universitaires EMI (English Medium of Instruction), car l'EMI est généralement associé à la stratégie d'internationalisation des universités.

La littérature relative à la mise en œuvre du CLIL/EMILE reste critique sur, au moins, trois aspects :

* l’évaluation du rôle des compétences linguistiques dans l'assimilation et la compréhension des contenus disciplinaires (Béacco, 2019) : il manque des données empiriques prouvant que les élèves ayant des connaissances linguistiques plus faibles assimilent correctement les contenus disciplinaires ; cela peut conduire à des processus d'enseignement et d'apprentissage des contenus disciplinaires plus superficiels. Comme l’affirme Cenoz, « The main challenge of CLIL is that students also achieve the same content learning outcomes as when the subject is taught through the medium of the first language.» (2017, p. 242; aussi Bonnet &amp; Breidbach, forthcoming). Les résultats semblent néanmoins optimistes (Sercu, 2025) ;
* la conclusion selon laquelle les élèves développent des compétences académiques à l'école dans une langue étrangère ou seconde (généralement l'anglais), mais pas dans leur L1, ce qui favorise la mise en œuvre future de l'EMI dans l'enseignement supérieur, au détriment des programmes proposés en L1 : une proposition CLIL/EMILE plus réussie devrait proposer l’acquisition de compétences académiques dans deux langues (Béacco, 2019) ;
* la pénurie de formations (initiale et continue) pour les enseignants appelés à travailler dans un contexte CLIL/EMILE (Perez Cañado, 2018), qui les préparent de manière adéquate au double objectif du CLIL : l'intégration du contenu disciplinaire et linguistique.

Nous en ajoutons un autre : le fait que la recherche sur CLIL soit surtout basée sur les programmes où l’anglais est le moyen d’instruction. Cette prédominance des contextes CLIL en anglais et le manque de recherche sur les programmes dans d'autres langues posent, par exemple, des problèmes dans la transition scolaire des programmes CLIL dans d'autres langues (Daryai-Hansen et al., 2023; voir projet « ''CLIL in languages other than English »'', section « pour aller plus loin »).{{Bas de page
  | idfaculté  = pédagogie
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    <title>Utilisateur:Floconnier49/Analyses textuelles (M2 D2SN, 2025-2026)</title>
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GAY-PERRET Florian - M2 D2SN - Rendu final Analyses Textuelles

(Pour des raisons de complications techniques, ce dépôt est doublé d'un envoi par mail de l'équivalent incluant les figures, ainsi que le notebook et le jeu de données utilisés)

== Contextualisation et présentation du jeu de données ==
Dans le cadre de mon mémoire sur l’appropriation et les usages de logiciels de gestion d’exploitation agricole, l’une de mes hypothèses de recherche est que le déploiement des usages numériques de manière générale est influencé par un ensemble de variables sociotechniques, que des prédispositions sont nécessaires à ce déploiement. Pendant ma recherche bibliographique, j’ai également constaté quelques difficultés à trouver des publications ayant un rapport critique à la numérisation des pratiques agricoles. Par ce travail d’analyse textuelle d’un corpus de plus de 1500 textes publiés sur Scopus et traitant de « digital agriculture », j’ai cherché à comprendre comment la littérature scientifique traitait la numérisation des pratiques agricoles, dans quel contexte et pour quelles applications.

Le corpus constitué pour analyse est donc composé d’un total de 1523 titres et résumés de publications anglophones, extraits à partir d’une requête dans la base de données en ligne Scopus. Les données extraites contiennent des informations sur les auteurs, ainsi que le titre et l’abstract de la publication, l’année de sa parution, le titre de la source dans laquelle est publié le document, ainsi qu’un ensemble de mots clés associés et le nombre de citations.
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Un premier nettoyage a été réalisé, pour supprimer les lignes vides (sans titre ni abstract) et les doublons à partir de l’EID des publications. Le corpus nettoyé a servi de base au corpus final, constitué à terme de 1511 titres et résumés de publications, puis conditionné pour traitement avec spaCy et tokenization.

Une première analyse à partir des années de publication montre que la question de l’agriculture numérique fait l’objet de publications depuis la fin des années 1990, ce qui semble cohérent avec un premier constat dressé pendant le travail de recherche, notamment avec l’apparition des outils de gestion d’exploitation et logiciels de gestion de troupeaux associés aux robots de traite en élevage bovin, dès les années 1980. Une seconde analyse à partir des résumés situe la taille des résumés autour de 300 mots, ce qui semble suffisant pour procéder à l’étude de ce corpus. Par ailleurs, il n’y a que 31 publications dont la taille du résumé dépasse les 500 mots.

(Figure 1 : Distribution temporelle des publications par année de publication)

(Figure 2 : Distribution de la taille des résumés en nombre de mots)

== Analyse à l’échelle des symboles ==
La première analyse réalisée est une mesure de la co-occurrence textuelle, pour déterminer quels étaient les mots et suites de mots les plus souvent employés dans ces publications. Sans surprise, les cinq mots les plus récurrents sont « digital », « agricultural », « agriculture », « data » et « study », avec tout de même une forte récurrence des mots « development » (que l’on peut à la fois appliquer au développement des technologies et aux pays dits « en voie de développement »), « sustainable » pour les enjeux d’agriculture durable, ce qui est notamment un domaine d’application de l’agriculture numérique avec les questions de d’agriculture de précision, d’optimisation des rendements et de réduction (voire suppression) des usages d’intrants, ainsi que « land » et « soil », ce qui tend à montrer plutôt un intérêt pour les productions végétales.
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|
|'''frequency'''
|'''presence'''
|-
|'''docs'''
|
|
|-
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|3998
|1322
|-
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|864
|-
|agriculture
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|-
|data
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|-
|study
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|-
|©
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|621
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|-
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|-
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|968
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
|technology
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|-
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|797
|189
|}
Pour affiner les résultats, le choix a été fait de s’orienter plutôt sur les 30 mots les plus spécifiques, en espérant trouver quelque chose se rapportant aux questions d’appropriation du numérique. De cette manière, le terme « adoption » ressort 573 fois dans 241 publications, ce qui ouvre la possibilité de poursuivre sur l’hypothèse proposée en introduction. C’est ce terme qui guidera la suite de l’analyse.
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|}
Après constitution d’un dictionnaire de mots spécifiques et de comptage des co-occurrences, puis visualisation via une ''heatmap'', cette cartographie montre que le terme « adoption » est surtout lié aux très récurrents termes « data », « agricultural » et « digital », mais aussi à « farmers » et « technologies », ce qui semble suffisamment cohérent pour procéder à une analyse syntaxique à l’échelle de phrases entières.

specific_words = {&quot;soil&quot;, &quot;carbon&quot;, &quot;water&quot;, &quot;green&quot;, &quot;land&quot;, &quot;ai&quot;, &quot;agricultural&quot;, &quot;farmers&quot;, &quot;digital&quot;, &quot;economy&quot;, &quot;extension&quot;, &quot;rural&quot;,  &quot;food&quot;, &quot;urban&quot;, &quot;energy&quot;, &quot;climate&quot;, &quot;digitalization&quot;, &quot;adoption&quot;, &quot;e&quot;, &quot;data&quot;, &quot;landscape&quot;, &quot;development&quot;, &quot;innovation&quot;, &quot;governance&quot;,  &quot;resilience&quot;, &quot;smart&quot;, &quot;cover&quot;, &quot;technologies&quot;, &quot;farming&quot;, &quot;learning&quot;}

(Figure 3 : ''Heatmap'' représentant les co-occurrences des 30 termes les plus spécifiques du corpus)

== Analyse à l’échelle des phrases ==
La seconde analyse réalisée est une étude de la syntaxe des phrases dans lesquelles le mot « adoption » est intégré, afin d’obtenir plus de contexte sur son utilisation. Plus précisément, l’approche mobilisée ici est celle de la grammaire de dépendance. Nous nous concentrons ici spécifiquement sur son utilisation en tant que nom commun dans une phrase, associé à un verbe. Les résultats obtenus en utilisant spaCy font ressortir quatre rôles grammaticaux :

-      « dobj », ou complément d’objet direct, le plus récurrent (environ 130 occurrences)

-      « nsubj », ou sujet du verbe, le deuxième plus récurrent (environ 40 occurrences)

-      « nsubjpass », ou sujet passif du verbe (14 occurrences)

-      « pobj », ou objet prépositionnel (4 occurrences)

(Figure 4 : Répartition des dépendances grammaticales)

À noter que les deux derniers éléments ne recensant que moins d’une vingtaine d’occurrences (seulement quatre pour l’objet prépositionnel), nous nous concentrerons donc sur les utilisations en tant que sujet et complément d’objet direct.

Dans le cas où « adoption » est utilisé comme complément d’objet direct, il l’est principalement en complément des verbes « influence » (26 occurrences), « promote » (13 occurrences), « support » (10 occurrences), « facilitate », « enhance » et « affect » (6 occurrences). Ce choix de verbes reflète d’une certaine manière une volonté d’encourager le déploiement de solutions numériques pour l’agriculture, sans forcément questionner les besoins réels des agriculteurs pour leurs pratiques, ni les causes et conséquences de la numérisation.

(Figure 5 : Dépendances grammaticales quand &quot;adoption&quot; est complément d'objet direct (dobj))
Dans le cas où « adoption » est utilisé comme sujet d’un verbe, il est principalement en sujet des verbes « remain » (8 occurrences) et « enhance » (4 occurrences), même s’il est plus difficile de déterminer un contexte d’utilisation. L’utilisation de « remains » avec « adoption » pourrait concerner les difficultés liées au déploiement, et celle de « enhance » les conséquences du numérique sur les pratiques effectives.
(Figure 6 : Dépendances grammaticales quand &quot;adoption&quot; est sujet du verbe)

== Discussion des résultats ==
Ces analyses indiquent que la question de l’adoption de solutions numériques en agriculture a été relativement traitée par la littérature scientifique (environ 1/6&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; des publications), principalement dans une approche de faciliter ou encourager la diffusion de telles solutions par les agriculteurs. En revanche, la question des conditions et besoins réels de numériser une pratique sur une exploitation agricole semble moins exploiter, ce qui confirme qu’il peut exister un manque dans la littérature scientifique concernant cette question.</text>
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